常微分方程31可降階的高階微分方程

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1、第三章二階及高階微分方程3.1可降階的高階方程3.3線性齊次常系數(shù)方程3.4線性非齊次常系數(shù)方程的待定系數(shù)法3.5高階微分方程的應(yīng)用3.2線性微分方程的基本理論1前一章介紹了一些一階微分方程的解法,在實(shí)際的應(yīng)用中，還會(huì)遇到高階的微分方程，在這一章，我們討論二階及二階以上的微分方程,即高階微分方程的求解方法和理論.23.1可降階的高階方程n階微分方程的一般形式是:當(dāng)時(shí),統(tǒng)稱為高階微分方程.一、可降階的高階方程1、不顯含未知函數(shù)的方程(3.1.2)不顯含未知函數(shù)x或不顯含未知函數(shù)及其直到階導(dǎo)數(shù)的方程是3對上式進(jìn)行k次積分,可

2、求出方程(3.1.2)的解.求解方法:若能求得其通解為:令就可把(3.1.2)化為關(guān)于的階方程:即(3.1.2)4例求解方程解將方程積分三次,通解：5它是一個(gè)一階方程,通解是:則方程可化為:即解:令例、求解方程積分四次,得原方程的通解為:6例解方程解令代入原方程,72、不顯含自變量t的方程求解方法:方程的一般形式為:作為新未知函數(shù),用而把作為新的自變量,因?yàn)?3.1.3)8由數(shù)學(xué)歸納法知,可用來表達(dá),將這些表達(dá)式代入(3.1.3)可得(3.1.3)即有新方程:它比原來的方程降低了一階.9解代入原方程例可分離變量方程10所

3、以例求解方程從而可得及于是原方程化為:作為新未知變量,取代入原變量得:故原方程的解為:113、全微分方程和積分因子若方程的左端是某個(gè)n-1階微分表達(dá)式對t的全導(dǎo)數(shù)，即稱(3.1.4)為全微分方程，顯然有(3.1.4)(3.1.5)12若求得（3.1.5）的全部解:則它也一定是(3.1.4)的解.后就成為全微分方程.稱其為方程(3.1.4)的積分本身不是全微分方程,有時(shí)方程(3.1.4)積分因子:但乘以一個(gè)合適的因子因子.(3.1.4)(3.1.5)13例求解方程解：原方程可以寫成即積分后得通解為故有14例求解方程解:方程

4、兩邊乘以因子方程化為:故有解得故原方程的解為顯然也是原方程的解.15微分方程滿足條件的特解是或解可分離變量方程即練習(xí)16求微分方程的積分曲線,使該積分曲線過點(diǎn)且在該點(diǎn)的切線斜率為2.解方程代入方程,得所求積分曲線為練習(xí)17思考題解積分方程過曲線y=f(x)上點(diǎn)(x,f(x))處的切線方程為18積分方程兩邊對x求導(dǎo),即代入上式,得可分離變量方程可降階的高階微分方程òxttfxy0,d)(1軸上的截距等于的切線在)]()([d)(0xfxxfxttfx￠-=ò19可分離變量方程分離變量并積分得再積分,得即為所求.可降階的高階

5、微分方程204、可降階的高階方程的應(yīng)用舉例例１、追線問題速度v運(yùn)動(dòng)，方向永遠(yuǎn)指向P點(diǎn),求M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)在軸上有一點(diǎn)P以常速度a沿著軸平面上另有一點(diǎn)M,它以常正向移動(dòng);在軌跡.解:首先我們建立點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)所滿足的微分方程模型.以記點(diǎn)M在時(shí)刻t的坐標(biāo)，以X記點(diǎn)P在時(shí)刻t的橫坐標(biāo)，表示P點(diǎn)在t=0的橫坐標(biāo),21圖3.1根據(jù)條件有:（3.1.7）（3.1.6）（3.1.8）把（3.1.6）代入（3.1.8），并記上式兩邊關(guān)于作為自變量，把求導(dǎo)得得:22由（3.1.9）和（3.1.10）得到M的追線方程又由得:（3.1.10）（3.1.

6、11）（3.1.9）即23例２、懸鏈線問題有一繩索懸掛在A和B兩點(diǎn)(不一定是在同一水平線),如圖3.2所示.設(shè)繩索是均勻的,柔軟的,僅受繩本身的重量作用,它彎曲如圖中的形狀,試確定該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)的形狀.解:設(shè)C是其最低點(diǎn),選取坐標(biāo)系如圖中所示,且軸通過C點(diǎn).ABCO圖3.224ABCO圖3.2考慮繩索在最低點(diǎn)C與點(diǎn)之間的一段,這一段在下面三個(gè)力的作用下平衡:(1)在點(diǎn)P的張力T,方向沿著P點(diǎn)的切線方向;(2)在點(diǎn)C的水平張力H;(3)CP段的垂直的重量,記為,設(shè)它作用在某一點(diǎn)Q處,不一定是CP的中心,見圖3.3,TQ

7、CH圖3.325現(xiàn)將張力Ｔ分解為兩個(gè)分力：，垂直方向分力為水平方向分力為按平衡關(guān)系有：兩式相除，并利用關(guān)系式得：TQCH圖3.3由于平衡關(guān)系,這些力在軸(水平)方向的代數(shù)和為0,在軸(垂直)方向的代數(shù)和也必須為0.26Ｈ是在最低點(diǎn)處的張力，是常數(shù)，但依賴于,將上式兩邊對微分得則有．其中Ｓ表示從Ｃ點(diǎn)算起的弧長，（3.1.1６）其中表示在水平方向上，每增加單位距離時(shí)，ＣＰ段弧所增加的重量．為設(shè)繩索的密度TQCH圖3.327或又由于故從而方程（3.1.16）化為：（3.1.1７）（3.1.1６）28目前的跳遠(yuǎn)世界記錄是Mike

8、powell在1991年創(chuàng)造的，成績是8.95m.但我們最感興趣的是BobBeamon在1968年于墨西哥城奧運(yùn)會(huì)上創(chuàng)造的當(dāng)時(shí)世界記錄，成績是8.90m．這個(gè)成績超過以前記錄55cm.有人認(rèn)為部分原因是由于墨西哥城空氣的稀薄造成的（墨西哥城的海拔是2600m）稀薄的空氣對跳遠(yuǎn)者意味著有較小的空氣阻力．試建立微分方程模