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《線性代數(shù)第6章二次型及其標準形》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第六章二次型及其標準型§6.3正定二次型與正定矩陣§6.2化二次型為標準型§6.1二次型及其矩陣表示§6.1二次型及其標準形引言判別下面方程的幾何圖形是什么？作旋轉(zhuǎn)變換代入(1)左邊，化為：見下圖稱為n維(或n元)的二次型.定義含有n個變量的二次齊次函數(shù)關(guān)于二次型的討論永遠約定在實數(shù)范圍內(nèi)進行！例如：都是二次型。不是二次型。取則則（1）式可以表示為二次型用和號表示令則其中為對稱矩陣。二次型的矩陣表示（重點）注1、對稱矩陣A的寫法：A一定是方陣。2、其對角線上的元素恰好是的系數(shù)。3、的系數(shù)的一半分給可保證例如：二次型注：二次型對稱矩陣把對稱矩陣稱為二次型的矩陣也把
2、二次型稱為對稱矩陣的二次型對稱矩陣的秩稱為二次型的秩二次型定義2：例1寫出下面二次型f的矩陣表示，并求f的秩r(f)。解問：在二次型中,如不限制A對稱,A唯一嗎?定義只含平方項的二次型稱為二次型的標準形(或法式)。平方項系數(shù)只在中取值的標準形(注：這里規(guī)范形要求系數(shù)為1的項排在前面，其次排系數(shù)為-1的項。)稱為二次型的規(guī)范形。目的：對給定的二次型找可逆的線性變換(坐標變換)：代入(1)式，使之成為標準形稱上面過程為化二次型為標準形。第六章二次型及其標準型§6.3正定二次型與正定矩陣§6.2化二次型為標準型§6.1二次型及其矩陣表示簡記設(shè)若一、非退化線性變換（可逆
3、線性變換）為可逆線性變換。當C是可逆矩陣時,稱對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，使二次型只含平方項。即二次型經(jīng)過可逆線性變換使得為什么研究可逆的變換？即經(jīng)過可逆線性變換可化為對于這種矩陣的關(guān)系我們來進行定義矩陣的合同：證明定理設(shè)A為對稱矩陣，且A與B合同，則注：合同仍然是一種等價關(guān)系矩陣合同的性質(zhì)：(1)反身性(2)對稱性(3)傳遞性記作二.化二次型為標準形正交變換法（重點）配方法目標：問題轉(zhuǎn)化為：回憶：此結(jié)論用于二次型所以，主軸定理(P191定理6.2.1)P的列向量是A的相應(yīng)于特征值的n個兩兩正交的單位特征向量。例1用正交變換化二次型為標
4、準型，并求出所用的正交變換。解（1）寫出二次型f的矩陣(2)求出A的全部特征值及其對應(yīng)的標準正交的特征向量而它們所對應(yīng)的標準正交的特征向量為(3)寫出正交變換取正交矩陣則得所欲求的正交變換即（4）寫出的標準型。易知經(jīng)上述正交變換后所得二次型的標準型2.解二次型的矩陣為3）對每個基礎(chǔ)解系進行Schmidt正交化、再單位化：作正交變換X=QY，則注：正交變換化為標準形的優(yōu)點：在幾何中，可以保持曲線（曲面）的幾何形狀不變。2.配方法⑴同時含有平方項與交叉項的情形。例2用配方法將下列二次型經(jīng)可逆線性變換化為標準形。解：令二次型的標準形為所求的可逆線性變換為即為標準形,并
5、求出所作的可逆線性變換.例3用配方法化二次型解令⑵只含交叉項的情形。即令則二次型的標準形為所用的可逆線性變換為以上說明：注意：2.在變換二次型時，要求所作的線性變換是可逆的.定理二次型必可化為規(guī)范形。證設(shè)二次型f(x)=xTAx(r(A)=r)經(jīng)正交變換化為:(思考為什么一定可化為上面形式？)再做一次可逆的線性變換則f化為思考：在可互化的二次型中最簡單的是什么？在對稱矩陣合同等價類中最簡單的矩陣是什么？思考并回答(1)二次型的標準形唯一嗎？(2)二次型的標準形中平方項的個數(shù)與二次型的秩有何關(guān)系？與二次型矩陣的非零特征值的個數(shù)有何關(guān)系？(3)設(shè)CTAC=D(C可逆
6、，D是對角陣)，D的對角元是A的特征值嗎？如果C是正交矩陣又如何？(4)設(shè)4階對稱矩陣A的特征值為0,2,2,-3,A的二次型的規(guī)范形是什么？思考題：1、(1)合同且相似；(2)合同但不相似；(3)不合同但相似；(4)不合同且不相似；例4設(shè)二次型經(jīng)正交變換化為標準形求(1)a,b;(2)正交變換矩陣Q.解二次型的矩陣為由題意由相似矩陣的性質(zhì)得，從而解得A與D有相同的特征值，分別為求得它們對應(yīng)的特征向量(正交)為再單位化并排成矩陣即得所求的正交變換矩陣第六章二次型及其標準型§6.3正定二次型與正定矩陣§6.2化二次型為標準型§6.1二次型及其矩陣表示§6.3正定二
7、次型本節(jié)討論二次型的分類問題.重點是正定二次型.在n維的二次型中,如果兩個二次型xTAx和yTBy可以互化，即則稱這兩個二次型等價。這相當于即在n階對稱矩陣中A與B合同等價。我們把等價的二次型分為同一類。相當于對稱矩陣的合同等價類。什么條件決定兩個二次型等價？我們知道,等價的二次型有相同的秩,也就是標準形中平方項個數(shù)相等.但秩相等的兩個二次型不一定等價.例如與不可能等價.因為不存在可逆矩陣C滿足因為慣性定理(P196定理6.3.1)在二次型的標準形中，正項個數(shù)與負項個數(shù)保持不變?；蛘哒f二次型的規(guī)范形是唯一。二次型的標準形中正項個數(shù)稱為二次型的正慣性指數(shù),負項個數(shù)
8、稱為二次型的負慣性指數(shù).
