2.3 平均值不等式選學(xué) 導(dǎo)學(xué)案 1

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1、2.3平均值不等式(選學(xué))導(dǎo)學(xué)案1學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握平均值不等式，會證明平均值不等式。2.會利用平均值不等式成立的條件（一正，二定，三相等）解決有關(guān)最值問題。教學(xué)過程〔溫故知新〕問題1：預(yù)習(xí)，提問學(xué)生定理一以及滿足的條件。+(a,b)。問題2：預(yù)習(xí)，提問學(xué)生平均值定理以及滿足的條件。（a,b）其滿足的條件是（一正、二定、三相等）?！矊?dǎo)學(xué)釋疑〕問題1,請同學(xué)們討論、嘗試證明不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”號）證明：a2＋b2－2ab＝（a－b）2當(dāng)a≠b時，（a－b）2＞0，當(dāng)a＝b時，（a－b）2＝0所以，（a－b）2≥0即

2、a2＋b2≥2ab問題2，請同學(xué)們討論、嘗試證明不等式，定理2（平均值不等式）：如果a，b是正數(shù)，那么a＋b2≥ab（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”號）證明：∵（a）2＋（b）2≥2ab∴a＋b≥2ab，即a＋b2≥ab顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，a＋b2＝ab說明：1）我們稱a＋b2為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為a，b的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2）a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù).3）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.4）幾何意義.〔鞏固提高〕問題1，例

3、1已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2P；（2）如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值14S2證明：因?yàn)閤，y都是正數(shù)，所以x＋y2≥xy（1）積xy為定值P時，有x＋y2≥P∴x＋y≥2P上式當(dāng)x＝y(tǒng)時，取“＝”號，因此，當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2P.（2）和x＋y為定值S時，有xy≤S2∴xy≤14S2上式當(dāng)x=y時取“＝”號，因此，當(dāng)x=y時，積xy有最大值14S2.說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個條件：?。┖瘮?shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù);ⅱ)函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須

4、是常數(shù)；ⅲ）等號成立條件必須存在。問題2，已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時加強(qiáng)對均值不等式定理的條件的認(rèn)識.證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得ab＋cd2≥ab·cd＞0，ac＋bd2≥ac·bd＞0，∴（ab＋cd）（ac＋bd）4≥abcd即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd【總結(jié)歸納】定理2（平均值不等式）：如果a，b是正數(shù)，那么a＋b2≥ab（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”號）可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值。其滿足的條件是

5、（一正、二定、三相等）。（檢測反饋）1某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？【拓展延伸】一般地，對n個正數(shù)(n)，我們把數(shù)值，分別稱為這n個正數(shù)的算術(shù)平均值于幾何平均值，且有。此式當(dāng)且僅當(dāng)a=時取“=”號。即n個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值。(學(xué)生小結(jié))談?wù)劚竟?jié)課有什么收獲與困惑？