資源描述：
《淺析球形帶電體對勻強(qiáng)電場電勢分布影響》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、淺析球形帶電體對勻強(qiáng)電場電勢分布影響摘要：大學(xué)物理課程中對幾種典型帶電體放入勻強(qiáng)電場中導(dǎo)致勻強(qiáng)電場電勢分布發(fā)生變化做了定性的說明，但由于求解過程復(fù)雜，大學(xué)物理課程中并沒有詳細(xì)求解。本文利用球坐標(biāo)系下的拉普拉斯算子，通過求解勒讓德函數(shù)對滿足這類問題的幾個具體例子進(jìn)行了簡單的求解。關(guān)鍵詞：勒讓德函數(shù)球坐標(biāo)系拉普拉斯方程1.導(dǎo)體對勻強(qiáng)電場電勢分布的影響???例1：已知勻強(qiáng)電場為E，帶電球體半徑為r，求球外電勢分布。00由于此問題的研究對象為球體，因而選用球坐標(biāo)較為方便。以導(dǎo)體球球心處為原點，通過球心且平行于電場方向的對稱軸為球坐標(biāo)系極軸建立球坐標(biāo)，并選
2、取導(dǎo)體球邊界處2為電勢零點，可得電勢u滿足?u?0，u
3、?0。rr?0又因為導(dǎo)體球關(guān)于對成軸對稱，所以球外電勢u的分布與?角無關(guān)，故u?ur(,)?1?2?u1??u(r)?(sin?)?022r?r?rrsin?????利用分離變數(shù)法，令u?ur(,)??Rr()()??，可得1d2dR1dd?(r)??(sin?)?ll(?1)Rdrdr?sin??dd?l1?Rr()?Cr?Dl?1l1∴r，ur(,)???(Crl?Dll?1)(cos)Pl?（1）l?0r?()??P(cos)?l???由于無限遠(yuǎn)處靜電場仍保持為E，因此u
4、??Erco
5、s?.0r??0?l1將（1）式帶入邊界條件，當(dāng)r??時，ur(,)???(Crl?Dll?1)(cos)Pl?=?Er0cos?l?0r比較系數(shù)，可得l?1，C??E。10?23當(dāng)r?r時，ur(,)??(Cr?Dr)(cos)P?=0，得D?Er。0101l1003r0綜上所述，ur(,)???Ercos??Ecos?。002r3r0分析這一結(jié)果，?Ercos?項表示原來的勻強(qiáng)電場電勢分布，為均勻電勢；Ecos?002r項表示導(dǎo)體球?qū)︵徑鼊驈?qiáng)電場的修正，為感應(yīng)電荷形成的電勢，而總的電勢分布即為二者疊加。例2：已知半徑為R的球殼表面電勢為u()
6、?，求球殼內(nèi)部電勢分布。0對于求解球心處的電勢，可以利用電勢疊加原理求得，但對于球殼內(nèi)任意一點的電勢，電勢疊加原理顯然無法完成求解。?l1設(shè)電勢為u，由前一例題結(jié)果可得ur(,)???(Crl?Dll?1)(cos)Pl?l?0r?l由邊界條件：u
7、r?0?有限值，u
8、rR??u0()?，可得?CRPll(cos)??u0()?l?0?2由勒讓德函數(shù)的正交性?0Pl(cos)(cos)sin?Pk???d?（l?k）得2l?1?l?CrPll(cos)(cos)sin?Pl???u0()(cos)sin?Pl??（2）l?02l?1?積分，得Cl
9、?l?0u0()(cos)sin?Pl???d2R?2l?1?∴球殼內(nèi)部電勢分布為ur(,)????0u0()(cos)sin?Pl???dPl(cos)?l?02此類問題如果直接求解勒讓德多項式則十分麻煩，由于u()?的值未知，因此無法0通過比較系數(shù)的方式確定l、C的值；而當(dāng)利用了勒讓德多項式的正交性之后，就可通l過一定的技巧將（2）式中的求和轉(zhuǎn)化為積分，避免了因l??而引發(fā)的求解困難，從而系數(shù)可以表示為積分的形式。2.球形電介質(zhì)對勻強(qiáng)電場電勢分布的影響對于導(dǎo)體球而言，處于靜電場中其表面會產(chǎn)生感應(yīng)電荷，而當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡時，導(dǎo)體表面為等勢面，
10、其電勢在球面連續(xù)分布；而對于球形電介質(zhì)而言，在外電場作用下球面會出現(xiàn)極化電荷，產(chǎn)生退極化場，因而電勢在介質(zhì)球表面不連續(xù)。相比求解導(dǎo)體球內(nèi)、外電勢分布的過程，在介質(zhì)球面上拉普拉斯方程沒有意義，因此在無法直接求解電勢分布，只能先分別求出球內(nèi)、球外的電勢分布，然后通過銜接條件是兩者在球面上銜接起來。???例3.已知勻強(qiáng)電場為E，均勻介質(zhì)球半徑為r，介電常數(shù)為?，當(dāng)該均勻介質(zhì)球00放入勻強(qiáng)電場后，求解介質(zhì)球內(nèi)外的電勢分布。???以球心為坐標(biāo)原點，通過球心且平行于E的對稱軸為極軸建立球坐標(biāo)系，分別設(shè)0球內(nèi)、外電勢分布為u、u，則u、u滿足拉普拉斯方程。12
11、12?l由例1結(jié)果，且u1在r?0為有限值，可知u1??ArPll(cos)?。l?0?1l又由u2在r??時為?Er0cos?，可得?(Crl?Dll?1)(cos)Pl???Er0cos?l?0r兩邊比較系數(shù)，得l?0,1，C??E10?1∴u2?C0?ErP0l(cos)???Dll?1Pl(cos)?l?0r?u?u12考慮到u
12、?u
13、，可得銜接條件??
14、??
15、。1rr?02rr?00?rrr?00?rrr?0??1l故?ArPl0l(cos)??C0?ErP0l(cos)???Dll?1Pl(cos)?l?0l?0r??Dl?1l??l
16、Arl0Pl(cos)???EP01(cos)???(l?1)l?2Pl(cos)?l?0l?0r03??13比較系數(shù)，可解得l?0,1
