非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格Euler 并行算法研究

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1、非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格Euler并行算法研究周磊朱培燁蔡江鵬中國航空計(jì)算技術(shù)研究所摘要對于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的Euler流動的并行計(jì)算問題，本文針對同一網(wǎng)格，對比了坐標(biāo)遞歸二分法，慣性遞歸二分法和多級遞歸圖二分法的區(qū)域分割結(jié)果。另一方面，對比了粗細(xì)兩種非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格方法的并行計(jì)算結(jié)果，得到它們的計(jì)算效率變化規(guī)律，分析這些變化規(guī)律的成因，對實(shí)際工程中并行加速比的定義提出了自己的看法。關(guān)鍵詞并行計(jì)算，加速比1.引言為對飛行器外流繞流流場進(jìn)行數(shù)值模擬，人們常常采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格來方便地對復(fù)雜的幾何外形進(jìn)行空間離散。注意與結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格相比，非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格計(jì)算需要大得多的內(nèi)存空間來存儲單元間不規(guī)

2、律的拓?fù)溥B結(jié)關(guān)系，同時計(jì)算量也增加了很多。所以，非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的流場數(shù)值模擬問題常常是計(jì)算規(guī)模龐大的工程問題，對此類問題進(jìn)行并行計(jì)算研究正是當(dāng)前計(jì)算流體力學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題,見[1][3]。本文通過對一個簡單標(biāo)模的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格Euler流動的并行計(jì)算，討論大規(guī)模工程計(jì)算所涉及的區(qū)域分裂及加速比方面的問題。2.數(shù)值方法我們采用四步龍格庫塔有限體積方法對三維M6機(jī)翼的定常繞流流場進(jìn)行Euler數(shù)值模擬。采用了局部時間步長等加速收斂的方法。對計(jì)算區(qū)域采用四面體單元的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格進(jìn)行空間離散。計(jì)算區(qū)域見下圖：圖1計(jì)算區(qū)域示意圖圖2機(jī)翼附近局部放大圖3.分區(qū)計(jì)算方法分區(qū)算

3、法的思想是將總體計(jì)算網(wǎng)格分成若干個塊子計(jì)算網(wǎng)格，每塊計(jì)算網(wǎng)格單獨(dú)求解，在每個計(jì)算時間步后各子網(wǎng)格在其相鄰子網(wǎng)格的邊界處的解通過消息傳遞機(jī)制1(massage-passing)進(jìn)行數(shù)據(jù)交換。區(qū)域分解的基本原則是，盡量使得每個子計(jì)算網(wǎng)格包含相同數(shù)量的計(jì)算單元。并行計(jì)算平臺是12臺SUN工作站以局域網(wǎng)絡(luò)相聯(lián)接，配以MPI并行通訊軟件庫構(gòu)成，每臺工作站內(nèi)存為128兆。我們采用粗細(xì)兩套網(wǎng)格（粗網(wǎng)格5.6萬網(wǎng)格點(diǎn)，細(xì)網(wǎng)格9.3萬網(wǎng)格點(diǎn)）來研究不同計(jì)算規(guī)模的問題的并行計(jì)算效果。我們分別采用了坐標(biāo)遞歸二分法，慣性遞歸二分法（由坐標(biāo)遞歸二分法改進(jìn)而來）（見[4]）和美國明

4、尼蘇達(dá)大學(xué)GeorgeKarpis等人提出的多級圖分區(qū)理論及其相應(yīng)的Metis軟件進(jìn)行負(fù)載平衡分區(qū)，并比較了這三種分區(qū)方法對于同一問題（分割同一套密網(wǎng)格）的分區(qū)結(jié)果。圖3總體網(wǎng)格分區(qū)圖圖4局部網(wǎng)格分區(qū)圖上面是用Metis程序包將細(xì)網(wǎng)格的12塊子網(wǎng)格進(jìn)行分區(qū)后的結(jié)果圖，左圖是全貌圖，而右圖是左圖中小黑框部分的局部放大圖，注意：由于網(wǎng)格線消隱的作用，有些子區(qū)域看不到。經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，上述分區(qū)是比較平均的（每塊網(wǎng)格的單元數(shù)離理想平均單元數(shù)的最大偏差在3%之內(nèi)）4.結(jié)果與分析首先，粗網(wǎng)格12塊的并行計(jì)算的結(jié)果與單塊計(jì)算結(jié)果一致，細(xì)網(wǎng)格12塊的并行計(jì)算的結(jié)果與2塊并行計(jì)

5、算結(jié)果一致。且并行計(jì)算的區(qū)域塊數(shù)與收斂速度無關(guān)。得到下面的各種非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格分區(qū)方法的計(jì)算結(jié)果對比表：rcbribmetis平衡偏差0.18456360.12055183.5641856E-02通訊量316532674816601通訊次數(shù)11010084在上表中，RCB表示遞歸坐標(biāo)二分法，RIB表示遞歸慣性二分法，METIS表示多級圖分區(qū)方法，而平衡偏差指的是各個子塊所含單元與理想應(yīng)含的平均單元數(shù)偏離的最大百分比。討論一：從上面可以看出：無論從分割成的子塊的均勻程度，單次迭代同步通訊時總的通訊量（交換數(shù)值的節(jié)點(diǎn)個數(shù)）還是通訊次數(shù)（發(fā)送接受次數(shù)）來說，多級圖分

6、區(qū)方法的各項(xiàng)指標(biāo)都是最好的，另一方面，從下面的結(jié)果可以看出：可能對于這三種分區(qū)方法來說：由于分配的都較均勻，且計(jì)算和通訊時間差別較大，所以三種分區(qū)方法在實(shí)際計(jì)算時單步迭代時間的差異基本可2以忽略。下面有關(guān)計(jì)算時間與并行處理工作站臺數(shù)間的關(guān)系圖5單迭代步計(jì)算時間與工作站臺數(shù)關(guān)系上圖中縱坐標(biāo)表示每個迭代步的平均墻上時間（單位為秒），橫坐標(biāo)表示工作站的個數(shù)。三角形的數(shù)據(jù)點(diǎn)反映的是密網(wǎng)格所測得的數(shù)據(jù)；正方形的數(shù)據(jù)點(diǎn)反映的是疏網(wǎng)格所測得的數(shù)據(jù)。另外，上方的實(shí)線段反映的是過(x=2)的密網(wǎng)格數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線(XY=C,C為某常數(shù))；虛線段反映的是過(x=4)的密網(wǎng)格數(shù)據(jù)

7、點(diǎn)的曲線(XY=C,C為某常數(shù))；下方的實(shí)線段反映的是過(x=1)的密網(wǎng)格數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線(XY=C,C為某常數(shù))。討論2：我們注意到，密網(wǎng)格的數(shù)據(jù)點(diǎn)處于過(x=2)密網(wǎng)格數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線(XY=C,C為某常數(shù))的下方，并處于過(x=4)密網(wǎng)格數(shù)據(jù)點(diǎn)曲線(XY=C,C為某常數(shù))的上方。這說明，對于計(jì)算規(guī)模很大的密網(wǎng)格計(jì)算問題，用常規(guī)的加速比來度量，出現(xiàn)了超線性收斂的情況。同時，我們對于上圖中的每個數(shù)據(jù)點(diǎn)，記錄了當(dāng)時計(jì)算機(jī)CPU工作效率的變化規(guī)律(記錄30分鐘的數(shù)據(jù)，采樣900點(diǎn))：圖6細(xì)網(wǎng)格2臺工作站時CPU的運(yùn)行效率圖3圖7細(xì)網(wǎng)格4臺工作站時CPU的運(yùn)行效率圖

8、圖8細(xì)網(wǎng)格6臺工作站時CPU的運(yùn)行效率圖4圖9粗網(wǎng)格1臺工作站時CPU的運(yùn)行效率