黑體輻射普朗克公式推導(dǎo)

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1、黑體普朗克公式推導(dǎo)1．空腔內(nèi)的光波模式數(shù)在一個由邊界限制的空間V內(nèi)，只能存在一系列獨立的具有特定波矢的平面單色駐波。這種駐波稱為電磁波的模式或光波模式，以為標(biāo)志。設(shè)空腔為立方體，如下圖圖1立方體空腔沿三個坐標(biāo)軸方向傳播的波分別應(yīng)滿足的駐波條件是(1)式中m、n、q為正整數(shù)。將代入(1)式中，有則在x方向上，相鄰兩個光波矢量的間隔為：同理，相鄰兩光波矢在三個方向的間隔為：5(2)因此每個波矢在波矢空間所占的體積元為(3)圖2波矢空間在波矢空間中，處于和之間的波矢對應(yīng)的點都在以原點為圓心、為半徑、為厚度的薄球殼內(nèi)，這個球殼的體積為(4)式中、。根

2、據(jù)(1)式的駐波條件，的三個分量只能取正值，因此和之間的、可以存在于V中的光波模式在波矢空間所占的體積只是上述球殼的第一卦限，所以(5)由(3)式已知每個光波矢的體積元，則在該體積內(nèi)的光波模式數(shù)為5(6)式中乘以2是因為每個光波矢量都有兩個可能的偏振方向，因此光波模式數(shù)是光波矢量數(shù)的2倍。由于，，上式可以用波長形式表示，即在體積為V的空腔內(nèi)，波長間隔的光波模式數(shù)為：(7)1．黑體輻射公式黑體輻射是黑體溫度T和輻射場波長的函數(shù)?？捎脝紊芰棵芏葋砻枋?，其定義為：在單位體積內(nèi)，波長附近的單位波長間隔中的電磁輻射能量，量綱為J?m-4。根據(jù)量子化假

3、設(shè)和玻色-愛因斯坦統(tǒng)計規(guī)律，在溫度T的熱平衡情況下，黑體輻射分配到腔內(nèi)每個模式上的平均能量為(8)因此單色能量密度為(9)即如在空腔上有一單位面積的開口，則在單位時間，半球空間輻射到此單位面積的能量為附錄1。按照(9)式，從黑體腔上的開口向半球空間輻射出的單色能量為(10)這就是溫度T的黑體的光譜輻出度公式。附錄1對于作用在如圖1的空腔表面的駐波，設(shè)垂直于面積A，且立體角為dW的方向上，光通量（單位時間通過的波的能量）為I和-I，如圖3。5圖3設(shè)光速為c，光運動單位距離的時間為1/c，則在立體角內(nèi)的光能密度（單位體積的光能量）P為(1)在諧振

4、腔內(nèi)，光輻射強度是各向同性的，因此對與面積A法線夾角為q的入射光，光通量仍為I，而該方向的通量為(2)因此在整個2p半球空間，一個小面積上通過的光通量如圖4圖4作用在一個小面積上的所有方向的光輻射則在面積A上的總光通量為5將(1)代入有(3)因為腔內(nèi)各方向的輻射是均勻分布的，所以任意方向立體角dW的能量密度P與腔內(nèi)的總能量密度r的關(guān)系為(4)代入(3)得(5)即如在空腔上有一開口，則在單位時間，單位面積輻射到半球空間的能量為。5