離散左孝凌第6章代數(shù)系統(tǒng)

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1、第6章代數(shù)系統(tǒng)6.1代數(shù)系統(tǒng)的基本概念6.2二元運算的性質(zhì)6.3子代數(shù)和積代數(shù)返回總目錄6.1代數(shù)系統(tǒng)的基本概念6.1.1運算1.運算的定義定義6.1.1設(shè)A是非空集合，從笛卡爾積A×A×…×A到A的映射f稱為集合A上的n元運算。簡稱為n元運算。在定義6.1.1中，當(dāng)n=1時，f稱為集合A上的一元運算；當(dāng)n=2時，f稱為集合A上的二元運算。在討論抽象運算時，“運算”常記為“*”、“°”等。設(shè)*是二元運算，如果a與b運算得到c，記作a*b=c；若*是一元運算，a的運算結(jié)果記作*a或*(a)。第6章代數(shù)系統(tǒng)設(shè)A=?1,a,?，

2、其中，a是非零實數(shù)。f：A→A，定義為：?a?A，f(a)=。容易看出f是A上的一元運算。又如，f：N×N→N，定義為：?m,n?N，f(m,n)=m＋n，f是自然數(shù)集合N上的二元運算，它就是普通加法運算。普通減法不是自然數(shù)集合N上的二元運算，因為兩個自然數(shù)相減可能得到負數(shù)，而負數(shù)不是自然數(shù)。所以普通的減法不是自然數(shù)集合N上的二元運算。通過以上討論可以看出，一個運算是否為集合A上的運算必須滿足以下兩點：①A中任何元素都可以進行這種運算，且運算的結(jié)果是惟一的。②A中任何元素的運算結(jié)果都屬于A。A中任何元素的運算結(jié)果都屬于A通

3、常稱為運算在A是封閉的?！纠?.1】設(shè)N為自然數(shù)集合，*和°是N×N到N映射，規(guī)定為：?m,n?N，m?n=min?m,n?m°n=max?m,n?則?和°是N上的二元運算。【例6.2】設(shè)Nk=?0,1,…,k-1?。Nk上的二元運算+k定義為：對于Nk中的任意兩個元素i和j，有稱二元運算+k為模k加法。稱二元運算×k為模k的乘法。模k加法+k和模k乘法×k是兩種重要的二元運算。在N7=?0,1,2,3,4,5,6?中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7中的元素：0，1，2，3，4，5，6分別看作是：星期日、星期一、

4、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么4+72=6可解釋為：星期四再過兩天后是星期六；4+75=2可解釋為：星期四再過五天后是星期二。Nk上的二元運算×k定義為：對于Nk中的任意兩個元素i和j，有2.運算的表示表示運算的方法通常有兩種：解析公式和運算表。解析公式是指用運算符號和運算對象組成的表達式。如f(a)=，運算表是指運算對象和運算結(jié)果構(gòu)成的二維表。設(shè)N4=?0,1,2,3?，N4上的模4加法＋4可以用運算表表示，它的運算表如表6.1所示。N4上的模4乘法×4也可以用運算表表示，它的運算表如表6.2所示。表6.1

5、+4012300123112302230133012表6.2×40123000001012320202303216.1.2代數(shù)系統(tǒng)定義6.1.2一個非空集合A連同若干個定義在該集合上的運算?1,?2,…,?k所組成的系統(tǒng)稱為一個代數(shù)系統(tǒng)，記作。一個代數(shù)系統(tǒng)需要滿足下面兩個條件：①有一個非空集合A。②有一些定義在集合A上的運算?！纠吭O(shè)R-?0?是全體非零實數(shù)集合，*是R-?0?上二元運算，定義為：?a,b?R-?0?，a*b=b。則是代數(shù)系統(tǒng)。6.2二元運算的性質(zhì)6.2.1運算

6、的基本性質(zhì)1.交換律定義6.2.1設(shè)*是非空集合A上的二元運算，如果對于任意的a,b?A，有a?b=b?a，則稱二元運算?在A上是可交換的。例如，設(shè)R為實數(shù)集合，對于任意的a,b?R，規(guī)定a?b=(a–b)2a°b=a2+b2a?b=a+b–ab則運算?、°和?都是可交換的。2.結(jié)合律定義6.2.2設(shè)*是非空集合A上的二元運算，如果對于任意的a,b,c?A，有(a*b)*c=a*(b*c)，則稱二元運算*在A上是可結(jié)合的。返回章目錄實數(shù)集合上的普通加法和乘法是二元運算，矩陣的加法和乘法也是二元運算，滿足結(jié)合律；向量的內(nèi)積、

7、外積是二元運算，但不滿足結(jié)合律。【例6.5】設(shè)*是非空集合A上的二元運算，定義為：?a,b?A，a?b=b。證明運算*是可結(jié)合的。證明：對于任意的a,b,c?A，有(a?b)?c=c，而a?(b?c)=a?c=c，故有(a?b)?c=a?(b?c)，即運算?是可結(jié)合的。當(dāng)二元運算*在A上適合結(jié)合律時，在只有該運算符的表達式中，表示運算順序的括號常被省略。所以將(x*y)*z=x*(y*z)常寫成x*y*z。這樣，可以令當(dāng)運算*滿足結(jié)合律時，an的也可以遞歸定義如下：⑴a1=a⑵an+1=an?a由此利用數(shù)學(xué)歸納法，不難證明

8、下列的公式：⑴am?an=am+n⑵(am)n=amn3.分配律定義6.2.3設(shè)*和是非空集合A上的兩個二元運算，如果對于任意a,b,c?A，有a*(b°c)=(a*b)°(a*c)(左分配律)(b°c)*a=(b*a)°(c*a)(右分配律)則稱運算*對運算是可分配的。也稱運算*對運算滿足分配律。【例