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1、7.2線性變換的運算一、內容分布7.2.1加法和數(shù)乘7.2.2線性變換的積7.2.3線性變換的多項式二、教學目的:掌握線性變換的加法、數(shù)乘和積定義,會做運算.掌握線性變換的多項式,能夠求出給定線性變換的多項式.三、重點難點:會做運算.7.2.1加法和數(shù)乘令V是數(shù)域F上一個向量空間,V到自身的一個線性映射叫做V的一個線性變換.注:可見線性變換是特殊的線性映射,因而具有線性映射的性質。我們用L(V)表示向量空間V和一切線性變換所成的集合.我們用L(V)表示向量空間和一切線性變換所成的集合,設定義:加法:數(shù)乘
2、:,那么和都是V的一個線性變換.下面證明:和都是V的一個線性變換.令,那么對于任意和任意有證明所以是V的一個線性變換令,那么對于任意和任意所以kσ是V的一個線性變換.線性變換的加法滿足交換律和結合律,容易證明,對于任意,以下等式成立:(1)(2)令θ表示V到自身的零映射,稱為V的零變換,它顯然具有以下性質:對任意有:(3)設σ的負變換σ指的是V到V的線性映射容易驗證,σ也是V的線性變換,并且(4)__線性變換的數(shù)乘滿足下列算律:這里k,l是F中任意數(shù),σ,τ是V的任意線性變換.定理7.2.1L(V)對于
3、加法和數(shù)乘來說作成數(shù)域F上一個向量空間.Note:上述運算性質由有關運算的定義及變換相等的概念易證,注意等式的含義以及有些等式兩端的運算是何運算。由上述討論可得:7.2.2線性變換的積設容易證明合成映射也是V上的線性變換,即我們也把合成映射叫做σ與τ的積,并且簡記作στ.除上面的性質外,還有:對于任意成立。證明我們驗證一下等式(9)其余等式可以類似地驗證。設我們有因而(9)成立。Note:1)上述驗方法由有關運算的定義及變換的相等得。2)補充幾點:A)單位變換有:B)零變換有:C)一般地,線性變換的乘積
4、不滿足交換律D)由一般不能得或,因為兩個非零變換的乘積可能是零變換E)線性變換的乘法一般不滿足消去律,即由且不能得.(可見L(V)的乘法類似于矩陣乘法的性質)7.2.3線性變換的多項式線性變換的乘法滿足結合律:對于任意都有因此,我們可以合理地定義一個線性變換σ的n次冪這里n是非負整數(shù)。我們再定義這里ι表示V到V的單位映射,稱為V的單位變換。Note:1)線性變換的冪指數(shù)為非負整數(shù);2)3)一般地進一步,設是F上一個多項式,而以σ代替x,以代替,得到V的一個線性變換這個線性變換叫做當時f(x)的值,并
5、且記作(1)因為對于任意我們也可將簡記作,這時可以寫(2)帶入法:如果并且那么根據(jù)L(V)中運算所滿足的性質,我們有