動態(tài)最值問題——圓內(nèi)最值問題

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1、“一師一優(yōu)課”《動態(tài)最值問題——圓內(nèi)最值問題》教學設計西安愛知中學郭晏鋮【學情分析】在運動變化中求最值的問題靈活性較強，涉及的知識面較廣，對學生思維能力要求較高，經(jīng)常令學生束手無策。因此如何正確快速的求解成為學生學習中的難點。本節(jié)課前,學生已經(jīng)學習了圓的基本知識,以及點和圓、直線和圓的位置關系。四班的同學在年級中屬中等偏上水平，對于基本知識的學習掌握的較快，但缺乏應用的靈活性。與圓有關的最值問題可以變零散的知識為學生整體的認識，變重復枯燥的學習為新奇有趣的探索，在訓練學生邏輯思維的同時，還能培養(yǎng)學生的探索能力【教學方法】對于圓中求最值問題,學生經(jīng)常感到無從下手，處理此類題目首

2、先要明確題目中運動的對象，然后就是根據(jù)按照題目要求作出運動過程中某一時刻的圖象?，F(xiàn)在學生普遍欠缺作圖能力，因此我在題目的設置上也遵循由易到難的原則，從給出圖形到簡單作圖再到復雜作圖，讓學生在這個過程中體會作圖的重要性。任何運動變化問題中總隱含著定量和不變關系，這也是解決這類問題的關鍵。在設計時我也注重設計情境，引導學生自己挖掘題目中的信息，找到這些關鍵點。從例1中的定量過渡到不變的位置關系再到不變的數(shù)量關系，剝繭抽絲，層層遞進，從而體會探究的樂趣。運動變化問題中還有一點就是要關注如何根據(jù)已學的知識證明最值位置的存在性及合理性，這一點最容易被忽略，學生往往憑感覺得出結果，并不知

3、其所以然。所以我在設置例題時也關注到了這一點，力求使每道例題的解題依據(jù)都不盡相同，從而引發(fā)學生對問題本質的思考，同時注重對所學知識中有關不等關系的定理的應用。通過本節(jié)課的教學，讓學生充分體會動與靜的結合，挖掘、探索題目中變量、定量以及它們之間的關系，運用所學的知識求解。本節(jié)課既是對前面所學知識的一個綜合運用，又是對學生邏輯思維能力的一個重要提升。對于程度較好的同學來說，找到解決運動變化問題的突破口是解決動態(tài)綜合問題的基礎，可以為后續(xù)的學習做好鋪墊。【教學目標】1.通過學生充分經(jīng)歷讀題、畫圖、分析、理解的數(shù)學過程，尋找運動變化問題中的定量及不變的數(shù)量關系和位置關系，培養(yǎng)動手操作

4、能力和空間想象能力，提高解決此類問題的信心和能力。2．理解從一般到特殊，再從特殊到一般的解題過程，選取運動變化過程中的靜止狀態(tài)入手進行研究，以靜制動，動中求靜，找到問題的切入點，進一步探究定量和變量之間的聯(lián)系、一般狀態(tài)和特殊狀態(tài)之間的聯(lián)系，從而利用所學知識解決問題。【教學重點】分析變化的過程，透過現(xiàn)象抓住問題的本質，轉化為所學知識解決問題。【教學難點】1、按照題目要求作出運動過程中某一時刻的圖形并對其進行分析；2、挖掘、探索題目中不變的數(shù)量關系和位置關系。【教學過程】導入：問題1：如圖1，已知⊙O的半徑為r，PO=m，在⊙O上找一點Q.PQ的最大值是，最小值為.問題2：如圖2

5、，已知⊙O的半徑為r，在⊙O上找一點Q.PQ的最大值是，最小值為.問題3：如圖3，已知⊙O的半徑為r，PO=m，在⊙O上找一點Q.PQ的最大值是，最小值為.圖1圖2圖3例：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°<θ<180°），得到△A1B1C,如圖，設AC中點為E，A1B1中點為P，AC=a，連接EP，當θ=°時，EP長度最大，最大值為.分析：連接CP，則P點運動軌跡如圖所示，則：，如圖所示。練習1：如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得

6、到△A’MN，連接A'C，則A'C長度的最小值是.分析：由翻折可得，，因此可以看做：在以M為圓心，1為半徑的圓上。如圖所示。連接MC.過M作MG⊥CD，在Rt△MDG中，MG⊥CD，∠MDG=60°，MD=1則GD=,GM=,（如圖所示）練習2：如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，兩頂點A、B分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連接OC，則OC長的最大值為.分析：取AB中點P如圖所示，練習3：如圖，Rt△ABC,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，求線段CP長的最小值為.分析：說明P點在以A

7、B為直徑圓上，如圖所示即：CP的最小值為3課堂小結：通過圓內(nèi)的最值我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，都會伴隨著過圓心的直線，且都伴隨著，取等號的時候都是過圓心的情況。（總結與圓有關的最值問題的解題思路，為今后解決綜合問題打好基礎。）【教學反思】1、課堂的起點稍微有些高，對于內(nèi)容的導入比較有梯度，對于背景的導入還需豐富；2、課堂給予學生了充分思考和討論的時間，學生利用實物投影對題目的分析也比較到位；3、對學生的講解點評到位。