幾何代數(shù)和幾何計(jì)算

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1、霸參見徊僻既回見徊鼢露《口》◆石赫李洪波數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的“數(shù)”與“形”的科學(xué)。數(shù)學(xué)處理幾何體．從而以一種既解析叉綜合的方式研究幾就是圍繞這兩個(gè)概念的演變而發(fā)展的，也通過(guò)這兩個(gè)何學(xué)。經(jīng)過(guò)一個(gè)半世紀(jì)，萊布尼茨的設(shè)想才有所實(shí)現(xiàn)?；靖拍顟?yīng)用到各個(gè)不同的領(lǐng)域中去。代數(shù)是研究19世紀(jì)中期，首先是格拉斯曼(H．G—s蚍nann)和凱“數(shù)”的學(xué)科，幾何是研究“形”的學(xué)科。數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展萊『A．ca“evl建立了后來(lái)以他們名字命名的向量和多的歷程中兩者彼此獨(dú)立，又相互纏繞。幾何(形)的概向量的外代數(shù)系統(tǒng)。根據(jù)

2、格拉斯曼的觀點(diǎn)．一個(gè)代數(shù)念用代數(shù)(數(shù))表示，幾何的目標(biāo)可經(jīng)過(guò)代數(shù)計(jì)算實(shí)現(xiàn)；用于表示幾何的物體．如果通過(guò)代數(shù)的加、減、乘、除等反之．代數(shù)語(yǔ)言賦有了幾何背景，可更加直觀地理解它運(yùn)算．能夠表示純粹的幾何物體的加、減、乘、除等運(yùn)們的意義，發(fā)現(xiàn)它們的豐富內(nèi)倆。吳文俊院士指出：幾算．得到的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果依然是純粹的幾何體，那么，何代數(shù)化，在近代數(shù)學(xué)的興起和發(fā)展過(guò)程中發(fā)揮著決這個(gè)代數(shù)就足一種幾何語(yǔ)言．通過(guò)它可以直接進(jìn)行幾定性的作用。何計(jì)算。格拉斯曼把3維線性空間推廣到n維。通過(guò)把n幾何計(jì)算的代數(shù)化維歐氏空間嵌入

3、到n+1維歐氏向量空間，為射影幾何16世紀(jì)前的歐洲。幾何學(xué)的發(fā)展一直是沿襲綜合建立了真正的幾何語(yǔ)言。這種語(yǔ)言根本不用坐標(biāo)．當(dāng)“vmhetic)的方式。這種方式強(qiáng)調(diào)從基本兒何體和幾何需要使用坐標(biāo)時(shí)，可以根據(jù)情況選擇合適的齊次坐標(biāo)．關(guān)系出發(fā)，在某個(gè)公理體系內(nèi)進(jìn)行幾何證明和推斷。其后，哈密頓通過(guò)建立四元數(shù)系，把微移{分推廣到向量這種歐幾里得的演繹體系長(zhǎng)期占據(jù)著西方數(shù)學(xué)的統(tǒng)治分析，并建立了向量代數(shù)。這足3維歐氏位移空問(wèn)上的地位。一種幾何語(yǔ)言?？死５耭w．cli助rd)通過(guò)建立對(duì)偶四17世紀(jì)初，笛卡兒創(chuàng)

4、立了坐標(biāo)幾何．實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”元數(shù)．實(shí)現(xiàn)了3維歐氏空間巾剛體運(yùn)動(dòng)的乘法表H‘，得與“形”的緊密結(jié)合．這與中國(guó)古代數(shù)學(xué)的幾何代數(shù)化到比向量代數(shù)更接近丁幾何的語(yǔ)言。1879年．克利福思想是相通的。坐標(biāo)就是變量。坐標(biāo)兒何使變量進(jìn)人德建立了“幾何代數(shù)”．即后來(lái)的克利福德代數(shù)，它是正了數(shù)學(xué)，為微積分的偉大發(fā)現(xiàn)創(chuàng)立了前提條件。17世交幾何的真正幾何語(yǔ)言。紀(jì)后半葉．微積分創(chuàng)始人之一、大數(shù)學(xué)家萊布尼茨認(rèn)非歐幾何的創(chuàng)立是幾何學(xué)發(fā)展的劃時(shí)代事件。19為．坐標(biāo)僅僅是數(shù)字，一串坐標(biāo)就是一串?dāng)?shù)字，然而坐世紀(jì)前半葉，羅巴切夫斯

5、基創(chuàng)贏了非歐幾何。，羅氏幾何標(biāo)系作為純粹的外部參照物，它誘導(dǎo)的代數(shù)表示本身的問(wèn)世擊破了歐氏幾何的·統(tǒng)天下，拓展了人們肘幾沒有幾何意義，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的只是純粹的代數(shù)計(jì)何學(xué)的認(rèn)識(shí)，使幾何學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生革命性的變化。直算。通過(guò)坐標(biāo)計(jì)算實(shí)現(xiàn)幾何研究是一種解析(a兀a1-rtic)到19世紀(jì)后半葉，羅氏幾何的重要性才得到充分認(rèn)的方式。他提出：“如何創(chuàng)造一種幾何語(yǔ)言．利用它可識(shí)。非歐幾何為黎曼幾何的創(chuàng)市提供了條件，而黎曼幾以直接進(jìn)行幾何計(jì)算和幾何推理?”這形成菜布尼茨何是愛兇斯坦相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。的宏偉設(shè)想

6、，即通過(guò)幾何語(yǔ)言直接進(jìn)行兒何計(jì)算，直接19世紀(jì)中期．火數(shù)學(xué)家高斯的學(xué)生瓦赫特fWachter1在研究非歐幾何時(shí)，發(fā)現(xiàn)歐氏幾何可以在雙石赫．李洪波：研究員．中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院數(shù)學(xué)機(jī)曲空間的某類球面上等距地實(shí)現(xiàn)。1872年，李(s．Lie)械化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)章，北京100080。在他的博士論文中首次建立了該模型的代數(shù)表示。這shiHe，bHo”gh0：Pro‰sor，K8y‰mtofy0fM訕e咖tlcsMachaniz枷on，chmeseAcadelnyofsci?，Beqi“gltxx堪O

7、個(gè)模型為n維歐氏幾何提供的嵌A空間足Ⅱ+2維閔2005年9月(57卷5期)o穗潺氏向量空間。由于嵌入空間的正交變換群正好是歐氏表示主要依靠空間的共形變換群的雙層覆蓋，因而這一模型義被稱協(xié)變量，即更高為共形模型。維數(shù)幾何空間遺憾的是，歷史上共形模型長(zhǎng)期局限于坐標(biāo)表示，中的不變量。因它對(duì)構(gòu)造歐氏幾何甚至經(jīng)典兒何的真正幾何語(yǔ)言的貢此．幾何表示的獻(xiàn)長(zhǎng)期沒有表現(xiàn)出來(lái)。核心是構(gòu)造合1869年，貝爾特拉米(E．Beltmmi)給出羅氏幾何的適的協(xié)變量代直觀解釋．說(shuō)明羅氏平面可以看作負(fù)常數(shù)曲率的曲面。，數(shù)，幾何

8、計(jì)算的1871年．克萊因建立了射影度量和非歐幾何的關(guān)系。核心是解決不他指出．歐氏幾何和羅氏幾何都可用射影方法構(gòu)造m，堂量代數(shù)的符來(lái)。1882年，龐加萊給出了一種模型：取圓的內(nèi)部作為號(hào)計(jì)算問(wèn)題。龐加萊模型：二維雙曲空間羅氏平面．把垂直于已知圓周的圓弧看作羅氏幾何的劉于經(jīng)典在歐氏平面的共形實(shí)現(xiàn)直線，運(yùn)動(dòng)是把圓變?yōu)樽陨淼姆囱荨＿@是現(xiàn)代經(jīng)常使幾何，有一類以用的非歐幾何在歐氏平面上等距實(shí)現(xiàn)的模型。，統(tǒng)一模式生成的協(xié)變量代數(shù)，稱為幾何代數(shù)，它有四大這么多杰出的數(shù)學(xué)家參與幾何代數(shù)和幾何模型的基本成分：表示幾何