傅里葉級數(shù) Fourier Series

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1、傅里葉級數(shù)FourierSeries法國數(shù)學家傅里葉發(fā)現(xiàn),任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構成的無窮級數(shù)來表示(選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因為它們是正交的),后世稱傅里葉級數(shù)為一種特殊的三角級數(shù)。傅里葉級數(shù)在數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率論、統(tǒng)計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。1來源法國數(shù)學家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國,程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)。他首先證明多元三角級數(shù)球形和的唯一性定理,并揭示了

2、多元傅里葉級數(shù)的里斯-博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級數(shù)曾極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學物理以及工程中都具有重要的應用。2公式給定一個周期為T的函數(shù),那么它可以表示為無窮級數(shù):(1)其中,j為虛數(shù)單位,可以按下式計算:(2)注意到是周期為T的函數(shù),故k取不同值時的周期信號具有諧波關系(即它們都具有一個共同周期T)。k=0時,(1)式中對應的這一項稱為直流分量,k=1時具有基波頻率,稱為一次諧波或基波,類似的有二次諧波,三次諧波等。3性質(zhì)收斂性傅里葉級數(shù)的收斂性:滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級數(shù)

3、都收斂。狄利赫里條件如下:在任何周期內(nèi),須絕對可積;在任一有限區(qū)間中,只能取有限個最大值或最小值;在任何有限區(qū)間上,只能有有限個第一類間斷點。吉布斯現(xiàn)象:在的不可導點上,如果我們只取(1)式右邊的無窮級數(shù)中的有限項作和,那么在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號。正交性所謂的兩個不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0,這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如,在三維歐氏空間中,互相垂直的向量之間是正交的。事實上,正交是垂直在數(shù)學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線形無關的,所以必然可以張成一個

4、n維空間,也就是說,空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是:奇偶性奇函數(shù);可以表示為正弦級數(shù),而偶函數(shù);則可以表示成余弦級數(shù):只要注意到歐拉公式:,這些公式便可以很容易從上面傅里葉級數(shù)的公式中導出。廣義傅里任何正交函數(shù)系,如果定義在[a,b]上的函數(shù)f(x)只具有有限個第一類間斷點,那么如果f(x)滿足封閉性方程:(4)那么級數(shù)(5)必然收斂于f(x),其中:(6)事實上,無論(5)時是否收斂,我們總有:成立,這稱作貝塞爾(Bessel)不等式。此外,式(6)是很容易由正交性推

5、出的,因為對于任意的單位正交基,向量x在上的投影總為。

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