周期信號的傅里葉級數(shù)

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1、引言時域分析中,以沖激信號δ(t)為基本信號，任意輸入信號e(t)可分解為一系列沖激信號之和；而本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號為基本信號，任意輸入信號可以分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。第三章傅立葉變換頻域分析從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅立葉變換。傅立葉變換是在傅立葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅立葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關系，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及

2、濾波、調(diào)制等重要概念。本章主要內(nèi)容周期信號的傅立葉級數(shù)非周期信號的傅立葉變換傅立葉變換的基本性質(zhì)周期信號和抽樣信號的傅立葉變換一種變換域分析方法，其它變換方法的基礎；快速傅立葉變換的出現(xiàn)，使其應用更加廣泛預備知識:完備的正交函數(shù)集信號分解：常用完備正交函數(shù)集：i)三角函數(shù)集：ii)復指數(shù)函數(shù)集：3.1周期信號的傅立葉級數(shù)一、三角形式的傅立葉級數(shù)是區(qū)間上的一個完備正交函數(shù)集，周期①②滿足一定條件的任一函數(shù)在區(qū)間都可描述為：f(t)1．任意信號的三角形式傅立葉級數(shù)展開3.1周期信號的傅立葉級數(shù)ii)iii)i)為的偶函數(shù)為的奇函數(shù)2．對于周期函數(shù)，由于積分值與積

3、分區(qū)間起始點無關(只要積分區(qū)間大小為T1)，故在均可以展成傅立葉級數(shù)3．存在的充分非必要條件：狄利克雷條件②一周期內(nèi)③一周期內(nèi)絕對可積，即①一周期內(nèi)間斷點有限個；極值有限個；4．其它三角形式ii)iii)iv)i)為的偶函數(shù)為的奇函數(shù)v)基波分量：對應的vi)奇次諧波分量：對應的vii)偶次諧波分量：對應的viii)直流分量：c05．周期信號的離散譜ii)相位(頻)譜:i)幅度(頻)譜:譜線，包絡線特點：頻譜只出現(xiàn)在某些離散頻率點上，離散(頻)譜二、指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)②上的完備正交函數(shù)集，周期①1．任意信號的指數(shù)傅立葉級數(shù)展開2．周期函數(shù)積分值與無關(只要

4、積分區(qū)間大小為T1)，故在有①3．與的關系②i)ii)iii)4．幅度譜：，相位譜：實傅立葉級數(shù)的特點：ii)為奇函數(shù)為偶函數(shù)i)為實數(shù)時，的正負表示的0和π，幅度譜和相位譜畫到一張圖上5．負頻率出現(xiàn)無物理意義，只是數(shù)學運算結(jié)果。每個分量的幅度一分為二，在正負頻率相對應的位置上各一半；只有把正負頻率上對應的兩條譜線矢量相加起來才代表一個分量的幅度。理解：三、函數(shù)對稱性與傅立葉系數(shù)關系①②③1．偶函數(shù)Ef(t)t偶函數(shù)只含直流項和余弦項E[例1]：周期矩形脈沖：只含直流項與余弦項譜線間隔零值點頻率指數(shù)形式：頻帶寬度概念：周期脈沖信號包含無窮多條譜線，即可分解為

5、無窮多個頻率分量，但其能量主要集中在第一個零點以內(nèi)，常把這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的頻帶寬度Bf與τ成反比關系若T1不變，τ減小一半譜線間隔只與周期T1有關，且與T1成反比；零值點頻率只與τ有關，且與τ成反比；而譜線幅度與T1和τ都有關系，且與T1成反比與τ成正比。若τ不變，T1擴大一倍周期T1越大，譜線間隔越?。芗?．奇函數(shù)①②③f(t)t0奇函數(shù)只含正弦項[例2]：周期鋸齒波只含正弦項f(t)E/2-E/2t03．奇諧函數(shù)：①②半周期對稱0i)當時，ii)當時，③同理ii)當時，時，i)當奇諧函數(shù)只含基波和奇次諧波的正弦和余弦項[例3]：含直流的周

6、期鋸齒波：4．去直流后為奇函數(shù)為奇函數(shù)：只含正弦項，則只含直流和正弦項t0t05．去直流后為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)：含直流、基波和奇次諧波A0[例4]：周期三角波含直流、基波和奇次諧波f(t)6．偶函數(shù)&奇諧函數(shù)：只含基波和奇次諧波的余弦分量t00[例5]：對稱方波只含基波和奇次諧波的余弦分量。7．奇函數(shù)&奇諧函數(shù)：只含基波、奇次諧波的正弦分量-11tf(t)08．偶諧函數(shù)：②①不一定為0f(t)t0i)當時,ii)當時,ii)當時,時,i)當③同理偶諧函數(shù)只含直流和偶次諧波的正弦和余弦項9．偶函數(shù)&偶諧函數(shù)：只含直流和偶次諧波的余弦分量f(t)t010．奇函數(shù)

7、&偶諧函數(shù)：只含偶次諧波的正弦項011．半波余弦、半波正弦類[例6]：①全波整流：只含直流、余弦分量0E規(guī)律收斂②半波整流：只含直流、基波和偶次諧波余弦分量0E規(guī)律收斂四、功率特性，有限級數(shù)，最小方均誤差功率特性①②：直流功率④稱之為帕塞瓦爾方程：交流功率③時域和頻域的能量守恒：周期信號的平均功率等于傅立葉級數(shù)展開各諧波分量有效值平方和其中的交流功率為,有效值為2.有限級數(shù)及最小方均誤差②最小方均誤差①有限級數(shù)的由來：[例7]：對稱方波②③ii)變化越劇烈，高頻分量越多：高頻分量主要影響脈沖跳變沿，低頻分量主要影響脈沖頂部解：①i)項數(shù)越多，誤差越小，④P9

8、93.吉布斯現(xiàn)象N很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，它約