正交變換與正交矩陣

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1、§7正交變換與正交矩陣正交變換的定義正交變換的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)變換與鏡像變換正交矩陣正交矩陣的分解10/8/20211正交變換恒同變換是正交變換,兩個正交變換的乘積仍然是正交變換.內(nèi)積不變?長度不變,夾角不變命題5.1:正交變換把規(guī)范正交基變?yōu)橐?guī)范正交基.證明證明10/8/20212旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣10/8/20213鏡像變換及其矩陣10/8/20214正交變換的矩陣2)矩陣A的列兩兩互相正交,它的行也兩兩互相正交,即10/8/20215正交變換與正交矩陣證明10/8/20216二維歐氏空間的正交變換證明：分兩種情況討論．10/8/20217Householder矩陣因此,鏡像變換

2、的矩陣為（Householder矩陣）求解求解10/8/20218正交矩陣的分解證明:對正交矩陣的階數(shù)采用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=2時,結(jié)論成立.當(dāng)n=3時,10/8/20219正交矩陣的分解進一步用歸納法可得結(jié)果10/8/202110命題5.2的證明證明:要證明該變換保持內(nèi)積.用(1)減去(2)及(3),并利用內(nèi)積的線性及對稱性得back10/8/202111命題5.3的證明證明：由假設(shè)back10/8/202112定理5.4的證明證明:back10/8/202113例子5.4的求解證明:單位法方向為()back10/8/202114例子5.5的求解證明:只要證明旋轉(zhuǎn)矩陣可以分

3、解成兩個Householder矩陣的乘積.back10/8/202115