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《離散數(shù)學(xué)群與半群》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第11章半群與群離散數(shù)學(xué)江蘇科技大學(xué)本科生必修課程計算機(jī)教研室周塔本章內(nèi)容11.1半群與獨異點11.2群的定義與性質(zhì)11.3子群11.4陪集與拉格朗日定理11.5正規(guī)子群與商群11.6群的同態(tài)與同構(gòu)11.7循環(huán)群與置換群本章總結(jié)例題選講作業(yè)11.1半群與獨異點半群與獨異點都是具有一個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)。半群與獨異點的定義，及其子代數(shù)的說明。半群與獨異點的冪運算。半群與獨異點的同態(tài)映射。半群與獨異點定義11.1(1)設(shè)V＝是代數(shù)系統(tǒng)，?為二元運算，如果運算是可結(jié)合的，則稱V為半群（semigroup）。(2)設(shè)V＝是半群,若e∈S是關(guān)于?運算的單位元,則稱V是含幺半群，也叫做
2、獨異點（monoid）。有時也將獨異點V記作V＝。半群與獨異點的實例，，，，都是半群,+是普通加法。這些半群中除外都是獨異點。設(shè)n是大于1的正整數(shù),和都是半群,也都是獨異點,其中+和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法。為半群,也是獨異點,其中?為集合的對稱差運算。為半群,也是獨異點,其中Zn＝{0,1,…,n-1},?為模n加法。半群中元素的冪由于半群V＝中的運算是可結(jié)合的,可以定義元素的冪,對任意x∈S,規(guī)定：x1＝xxn+1＝xn?x,
3、n∈Z+用數(shù)學(xué)歸納法不難證明x的冪遵從以下運算規(guī)則：xn?xm＝xn+m(xn)m＝xnmm,n∈Z+普通乘法的冪、關(guān)系的冪、矩陣乘法的冪等都遵從這個冪運算規(guī)則。獨異點中的冪獨異點是特殊的半群，可以把半群的冪運算推廣到獨異點中去。由于獨異點V中含有單位元e，對于任意的x∈S,可以定義x的零次冪,即x0＝exn+1＝xn?xn∈N半群與獨異點的直積定義11.2設(shè)V1＝，V2＝是半群(或獨異點),令S＝S1×S2,定義S上的·運算如下：?,∈S,?＝稱
4、為V1和V2的直積，記作V1×V2?？梢宰C明V1×V2是半群。若V1和V2是獨異點，其單位元分別為e1和e2，則是V1×V2中的單位元，因此V1×V2也是獨異點。半群與獨異點的同態(tài)映射定義11.3(1)設(shè)V1＝,V2＝是半群,?:S1→S2。若對任意的x,y∈S1有?(x?y)＝?(x)??(y)則稱?為半群V1到V2的同態(tài)映射,簡稱同態(tài)(homomorphism)。(2)設(shè)V1＝,V2＝是獨異點,?:S1→S2.若對任意的x,y∈S1有?(x?y)＝?(x)??(y)且?(e1)＝e2,則稱?為獨異點V1到V2的同態(tài)映
5、射,簡稱同態(tài)。兩點說明：為了書寫的簡便，有時經(jīng)常省略上述表達(dá)式中的算符?和?，而簡記為?(xy)＝?(x)?(y)應(yīng)該記住，該表達(dá)式中左邊的xy是在V1中的運算，而右邊的?(x)?(y)是在V2中的運算。本節(jié)的主要內(nèi)容集合S和運算構(gòu)成半群的條件（封閉性、結(jié)合律）。集合S和運算構(gòu)成獨異點的條件（封閉性、結(jié)合律、單位元）。半群與獨異點的兩條冪運算規(guī)則：xnxm＝xn+m，(xn)m＝xnm。通過笛卡爾積構(gòu)造直積?。同態(tài)映射的判別：?(xy)＝?(x)?(y)對于獨異點要加上?(e)＝e。定義11.2說明任取,,?S(?)?=6、d>?=<(a?c)?u,(b*d)*v>=?(?)=?()==11.2群的定義與性質(zhì)群是特殊的半群和獨異點。群論中常用的概念或術(shù)語：有限群、無限群、平凡群、交換群、元素的冪和階。群的運算規(guī)則。群的定義定義11.4設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，?為二元運算。如果?運算是可結(jié)合的，存在單位元e∈G，并且對G中的任何元素x都有x-1∈G,則稱G為群（group）。舉例(1),,都是群,而和不是群。(2
7、)是群,而不是群。因為并非所有的n階實矩陣都有逆陣。Klein四元群設(shè)G＝{a,b,c,d}，?為G上的二元運算，見下表。?eabceeabcaaecbbbceaccbaeG是一個群：e為G中的單位元；運算是可結(jié)合的；運算是可交換的；G中任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三個元素中,任何兩個元素運算的結(jié)果都等于另一個元素。稱這個群為Klein四元群,簡稱四元
