群表示理論基礎(chǔ)

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1、第三章群表示理論基礎(chǔ)第一節(jié)分子對(duì)稱性一、對(duì)稱元素與對(duì)稱操作1、對(duì)稱操作：每一次操作都能夠產(chǎn)生一個(gè)與原來(lái)圖形等價(jià)的圖形。也就是，當(dāng)一個(gè)操作作用于一個(gè)分子上，所產(chǎn)生的新分子幾何圖形和作用前的圖形如不借助于標(biāo)號(hào)是無(wú)法區(qū)分的。2.對(duì)稱元素：對(duì)分子幾何圖形施行對(duì)稱操作時(shí)，所依賴的幾何要素（點(diǎn)、線、面及其組合）稱為對(duì)稱元素。五種對(duì)稱元素及相應(yīng)的對(duì)稱操作：1)恒等元素（E）——恒等操作（E）（操作后，分子保持完全不動(dòng)）2)對(duì)稱軸（Cn）——旋轉(zhuǎn)操作（Cn，Cn2，Cn3…..Cnn-1，Cnn=E）3)對(duì)稱面（σ）——反映操作

2、（σ,σ2=E）*包含主軸的對(duì)稱面—σv；垂直于主軸的對(duì)稱面—σh；*包含主軸且平分垂直于主軸的兩個(gè)C2軸之間夾角—σd.4)對(duì)稱中心（i）——反演操作（i,i2=E）5)象轉(zhuǎn)軸（非真軸）（Sn）——旋轉(zhuǎn)反映操作（Sn，Sn2，Sn3，…Snn）S1=σhS2=C2σh=i；Snk=(Cnσh)k=CnkσhkSnk=Cnk(k為偶數(shù))，Snk=Cnkσh(k為奇數(shù))Snn=E（n為偶數(shù)），Snn=σh(n為奇數(shù))3、對(duì)稱操作的乘積例：對(duì)分子先后施行B和A操作,結(jié)果相當(dāng)于對(duì)分子單純施行C操作，則稱C是A與B的乘積.

3、記為AB=C。若AB=BA，則稱對(duì)稱操作A與B是可交換的.如果一個(gè)操作產(chǎn)生的結(jié)果和兩個(gè)或多個(gè)其他操作連續(xù)作用的結(jié)果相同，則稱這一操作為其他操作的乘積。二、群的基本知識(shí)1、群的定義：一個(gè)集合G含有A、B、C、…元素，在這些元素之間定義一種運(yùn)算(通常稱為“乘法”)。若滿足如下四個(gè)條件，則稱集合G為群：1）封閉性:若A、B為G中任意兩個(gè)元素，且AB=C，A2=D，則C、D仍為G中元素。2）締合性：G中各元素之間的運(yùn)算滿足結(jié)合律：(AB)C=A(BC)3）有單位元素E，使任一元素A滿足：AE=EA=A4）G中任意一元素A均

4、有其逆元素A-1，A-1亦屬于G中。AA-1=A-1A=E*群中元素的數(shù)目稱為群的階（h）。例：A、整數(shù)集合：{…-3,-2,-1,0,1,2,3…}對(duì)“代數(shù)加法”構(gòu)成一個(gè)群。B、CH2Cl2分子（C2v群）的對(duì)稱操作的集合{E，C2，σv，σv′}對(duì)“對(duì)稱操作的乘積”構(gòu)成一個(gè)群。封閉性：EC2=C2,Eσv=σv，Eσv′=σv′,C2σv=σv′，C2σv′=σv,σvσv′=C2締合性：(C2σv)σv′=σv′σv′=EC2(σvσv′)=C2C2=E單位元素：E逆元素：C2C2=E,σvσv=E,σv′σ

5、v′=E；C2-1=C2,σv-1=σv,σv′-1=σv′2、共軛元素和群的類*逆元素為自身。若X和A是群G中的兩個(gè)元素，且B=X-1AX，則B仍為G中的元素（上式稱為：B是A借助于X所得的相似交換），則稱A和B為共軛元素。類：群中相互共軛的元素的完整集合稱為群的類。三、分子對(duì)稱操作群（分子點(diǎn)群）1、可以證明：對(duì)于任意分子完全而不重復(fù)的對(duì)稱操作集合構(gòu)成一個(gè)群，稱為分子對(duì)稱操作群(分子點(diǎn)群)。2、分子點(diǎn)群的確立（見(jiàn)結(jié)構(gòu)化學(xué)）例1：C2V群（CH2Cl2）{E，C2，σv，σv′}求與C2共軛的元素：E-1C2E=C

6、2，C2-1C2C2=C2，σv-1C2σv=C2，σv′-1C2σv′=C2可見(jiàn)C2自成一類。同理可證：E，σv，σv′亦各自成一類。因此C2V群共有四類，每個(gè)元素自成一類。第二節(jié)分子對(duì)稱操作的矩陣表示一、矩陣的基本知識(shí)：1、定義：一些數(shù)字的矩形排列。如：a11a12…a1na21a22…a2n(m行×n列)…………am1am2…amn方陣：若行數(shù)=列數(shù)(m=n),稱為方陣。方陣的跡：χ=Σaii(方陣的對(duì)角元素之和)單位矩陣（與群的單位元素對(duì)照）：對(duì)角元素aii=1，其他元素均為0的方陣（E）。2、矩陣的乘法1

7、）若A的列數(shù)等于B的行數(shù)，則二者可以相乘。A(n×h)B(h×m)=C(nm)乘法服從結(jié)合律：(AB)C=A(BC);一般不服從交換律：AB≠BA.例1：01202101011=1101101123×33×23×2例2：不服從交換律121133=111122111223=111123例3：與只有一列的矩陣相乘101140102=20113511012010無(wú)法運(yùn)算！??！3011例4：求方陣的跡106422的跡=(1+2+3)=63532)逆矩陣(與群中逆元素概念對(duì)照)若AA-1=A-1A=E（單位矩陣），則A-1為

8、A的逆矩陣。只有方陣才有逆矩陣；若

9、A

10、=0,則A為奇異矩陣，其逆矩陣無(wú)法確定；若

11、A

12、≠0，則A為非奇異矩陣，具有唯一的逆矩陣。3）共軛矩陣(與群中共軛元素概念對(duì)照)A、B、X為三個(gè)矩陣，若A=X-1BX，則稱A與B為共軛矩陣。*共軛矩陣具有相等的跡。首先要證明，若AB=C，BA=D，則C和D的特征標(biāo)相等。再證明：若A=X-1BX，則A和B具有相等的跡。