《代數(shù)系統(tǒng)》PPT課件

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1、離散數(shù)學(xué)(II)吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院智能規(guī)劃與自動(dòng)推理教研室古典代數(shù)與近世代數(shù)古典代數(shù)的研究對(duì)象：方程以方程根的計(jì)算與分布為其研究中心近世代數(shù)的研究對(duì)象：代數(shù)系統(tǒng)古典代數(shù)的發(fā)展過(guò)程導(dǎo)致了群的概念的提出，發(fā)展成了近世代數(shù)古典代數(shù)的發(fā)展過(guò)程一元一次方程公元前1700年一元二次方程公元前幾世紀(jì)巴比倫人一元三次方程我國(guó)：在公元七世紀(jì)一般的近似解法唐朝數(shù)學(xué)家王孝通《緝古算經(jīng)》西方：16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡丹公式CardanJ(1501～1576)聞名全歐的醫(yī)生、頗為人知的數(shù)學(xué)教授精通賭博、占星術(shù)FontanaN（Tartaglia）（1500-1557）自學(xué)成才的意大利數(shù)學(xué)家、工程師、軍事科學(xué)家。

2、以發(fā)現(xiàn)三次方程的一般解法和始創(chuàng)彈道學(xué)而聞名。1535年2月22日意大利米蘭大教堂30個(gè)3次方程Tartaglia--2個(gè)小時(shí)Fior—0題1539年3月25日Cardan騙到公式并于1545年發(fā)表宣戰(zhàn)：各出31題Tartaglia---7天FerrariL---5個(gè)月1題古典代數(shù)的發(fā)展過(guò)程古典代數(shù)的發(fā)展過(guò)程四次方程FerrariL化為求一個(gè)三次方程和兩個(gè)二次方程的根五次方程失敗：EulerL(1907--1983)、Vandemonde、LagrangeJL、RuffiniP、GaussKF19世紀(jì)法國(guó)青年數(shù)學(xué)家Galois:五次以上方程無(wú)根式解Galois(1811—1832)--近世代數(shù)的

3、創(chuàng)始人EvaristeGaloisGalois(1811—1832)--近世代數(shù)的創(chuàng)始人1829年3月發(fā)表第一篇論文1829年5月《關(guān)于五次方程的代數(shù)解法問(wèn)題》CauchyA遺失；FourierJ去世1831年《關(guān)于用根式解方程的可解性條件》PoissonSD:“完全不能理解”1829年父親自殺；兩次投考巴黎綜合工科學(xué)校被拒絕，進(jìn)入高等師范學(xué)校學(xué)習(xí)1830年12月因抨擊校長(zhǎng)在“七月革命”中的兩面行為被開(kāi)除Galois(1811—1832)--近世代數(shù)的創(chuàng)始人1831年6月—7月兩次被捕1832年5月29日“請(qǐng)公開(kāi)請(qǐng)求雅可比或高斯就這些定理的重要性而不是正確性發(fā)表的他們看法。在這以后，我希望有人

4、會(huì)發(fā)現(xiàn)將這堆東西整理清楚對(duì)他們是有益的?！?832年5月29日決斗身亡1846年LiouvilleL《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》1870年Jordan《論置換與代數(shù)方程》Galois(1811—1832)—超越時(shí)代的天才開(kāi)創(chuàng)了置換群論的研究，徹底解決了一般方程的根式解難題。發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論--伽羅瓦理論。創(chuàng)立了抽象代數(shù)學(xué)，把代數(shù)學(xué)的研究推向了一個(gè)新的里程，標(biāo)志著數(shù)學(xué)發(fā)展現(xiàn)代階段的開(kāi)始。用Galois理論可解決古希臘四大幾何做圖難題：將任意角三等分、倍立方、化圓為方、作正n邊形近世代數(shù)的特點(diǎn)--抽象代數(shù)系統(tǒng)：群環(huán)域格布爾代數(shù)離散數(shù)學(xué)II第六章群與環(huán)§6.1代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)運(yùn)算的定義及其性質(zhì)代數(shù)

5、系統(tǒng)的定義二元代數(shù)運(yùn)算設(shè)S是一個(gè)非空集合，稱(chēng)S×S到S的一個(gè)映射f為S的一個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，即，對(duì)于S中任意兩個(gè)元素a，b，通過(guò)f，唯一確定S中一個(gè)元素c：f（a，b）=c，常記為a*b=c。Note：代數(shù)運(yùn)算是閉運(yùn)算。該運(yùn)算具有很強(qiáng)的抽象性，不限于+，-，*，/，意義很廣泛。類(lèi)似地，可定義S的n元代數(shù)運(yùn)算：Sn到S的映射。代數(shù)運(yùn)算的定義加法和乘法是自然數(shù)集N上的二元代數(shù)運(yùn)算；減法和除法不是N上的二元代數(shù)運(yùn)算加法、減法、乘法都是整數(shù)集Z上的二元代數(shù)運(yùn)算；除法不是Z上的二元代數(shù)運(yùn)算乘法、除法是非零實(shí)數(shù)集R*上的二元代數(shù)運(yùn)算；加法和減法不是R*上的二元代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算的例子矩陣加法和乘法是n階實(shí)矩陣

6、集合上的二元代數(shù)運(yùn)算。設(shè)S是一個(gè)非空集合，ρ（S）是S的冪集，則∩、∪是ρ（S）上的二元代數(shù)運(yùn)算。∧、∨、→、?都是真值集合{0，1}上的二元代數(shù)運(yùn)算。代數(shù)運(yùn)算的例子設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于任意a，b∈S，a*b=b*a都成立，則稱(chēng)運(yùn)算*滿足交換律。例.設(shè)Q為有理數(shù)集合，對(duì)任意a,b∈Q,定義Q上的運(yùn)算☉如下：a☉b=a+b-a?b，則☉是Q上的二元代數(shù)運(yùn)算，且滿足交換律：a☉b=a+b-a?b=b+a-b?a=b☉a代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)—交換律設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于任意a，b，c∈S，(a*b)*c=a*(b*c)都成立，則稱(chēng)運(yùn)算*滿足結(jié)合律。例.設(shè)A是一個(gè)非空集合，

7、對(duì)任意a,b∈A，定義A上的運(yùn)算☉如下：a☉b=b，則☉是A上的二元代數(shù)運(yùn)算，且滿足結(jié)合律:(a☉b)☉c=b☉c=ca☉(b☉c)=a☉c=c代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)—結(jié)合律設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，a是S中的元素，如果a*a=a,則稱(chēng)a是關(guān)于運(yùn)算*的冪等元。如果S中每個(gè)元素都是關(guān)于*的冪等元，則稱(chēng)運(yùn)算*滿足等冪律。結(jié)論：若a是關(guān)于運(yùn)算*的等冪元，則對(duì)于任意正整數(shù)n，an=a.代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)—等冪律設(shè)