高數(shù)習題第9章

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1、院系班級姓名作業(yè)編號第九章曲線積分與曲面積分作業(yè)13對弧長的曲線積分1．計算，其中為直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個邊界．解：可以分解為及2．，其中為星形線在第一象限內(nèi)的?。猓簽樵?．計算，其中折線ABC，這里A，B，C依次為點．解：131院系班級姓名作業(yè)編號131院系班級姓名作業(yè)編號4．，其中為螺線上相應于從變到的一段弧．解：為5．計算，其中L：．解：將L參數(shù)化，6．計算，其中L為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界．解：邊界曲線需要分段表達，從而需要分段積分從而131院系班級姓名作業(yè)編號作業(yè)14對坐標的曲線

2、積分1．計算下列第二型曲線積分：(1)，其中為按逆時針方向繞橢圓一周；解：為原式(2)，其中是從點到點的一段直線；解：是原式(3)，其中是圓柱螺線從到的一段??；解：是原式(4)計算曲線積分,其中為由點A(-1,1)沿拋物線到點O(0,0),再沿x軸到點B(2,0)的弧段．解：由于積分曲線是分段表達的，需要分段積分；131院系班級姓名作業(yè)編號原式2．設力的大小等于作用點的橫坐標的平方，而方向依軸的負方向，求質(zhì)量為的質(zhì)點沿拋物線從點移動到點時，力所作的功．解：3．把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分，其中為：(1)在平面內(nèi)沿直

3、線從點到點；(2)沿拋物線從點到點．解：（1）（2）131院系班級姓名作業(yè)編號作業(yè)15格林公式及其應用1．填空題(1)設是三頂點(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向邊界,12．(2)設曲線是以為頂點的正方形邊界，不能直接用格林公式的理由是_所圍區(qū)域內(nèi)部有不可道的點_．（3）相應于曲線積分的第一型的曲線積分是．其中為從點(1,1,1)到點(1,2,3)的直線段．2．計算,其中L是沿半圓周從點到點的?。猓篖加上構(gòu)成區(qū)域邊界的負向3．計算,其中為橢圓正向一周．解：原式131院系班級姓名作業(yè)編號4．計算曲線積分其中為連續(xù)

4、函數(shù)，是沿圓周按逆時針方向由點到點的一段弧．解：令則，原式5．計算,其中為（1）圓周（按反時針方向）；解：，而且原點不在該圓域內(nèi)部，從而由格林公式，原式（2）閉曲線（按反時針方向）．解：，但所圍區(qū)域內(nèi)部的原點且僅有該點不滿足格林公式條件，從而可作一很小的圓周（也按反時針方向），在圓環(huán)域上用格林公式得，原式6．證明下列曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關,并計算積分值：（1）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該131院系班級姓名作業(yè)編號曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關，沿折線積分即可，原式（2）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無

5、關，沿直線積分也可，原式（3）．解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關，沿折線積分即可，原式7．設在上具有連續(xù)導數(shù)，計算，其中L為從點到點的直線段．解：由于在右半平面連續(xù)，從而該曲線積分右半平面內(nèi)與路徑無關，沿曲線131院系班級姓名作業(yè)編號積分即可，原式8．驗證下列在整個平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,并求出它的一個原函數(shù)：（1）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設這個函數(shù)為，則從而，（2）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設這個函數(shù)為，則原式可?。?

6、）解：可取折線作曲線積分131院系班級姓名作業(yè)編號9．設有一變力在坐標軸上的投影為,這變力確定了一個力場,證明質(zhì)點在此場內(nèi)移動時,場力所作的功與路徑無關．證：，質(zhì)點在此場內(nèi)任意曲線移動時，場力所作的功為由于在全平面連續(xù)，從而質(zhì)點在此場內(nèi)移動時，場力所作的功與路徑無關．131院系班級姓名作業(yè)編號作業(yè)16對面積的曲面積分1．計算下列對面積的曲面積分：(1),其中為錐面被柱面所截得的有限部分；解：為，原式（2）,其中為球面．解：為兩塊，原式2．計算，是平面被圓柱面截出的有限部分．解：為兩塊，，131院系班級姓名作業(yè)編號原式（或由，

7、而積分微元反號推出）3．求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積．解：為兩塊，原式4．設圓錐面,其質(zhì)量均勻分布,求它的重心位置．解：設密度為單位1，由對稱性可設重點坐標為，故重點坐標為5．求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的密度按規(guī)律而變更．解：131院系班級姓名作業(yè)編號131院系班級姓名作業(yè)編號作業(yè)17對坐標的曲面積分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分前側(cè)．解：原式=2．計算曲面積分，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面及之間的部分．解：原式=3．計算其中是平面所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)．解：分片積分。131院系班級姓名作業(yè)

8、編號原式=（由輪換對稱性）4．把對坐標的曲面積分化為對面積的曲面積分：（1）是平面在第一卦限的部分的上側(cè)；（2）是拋物面在面上方的部分的上側(cè)．解：（1）原式=（2）原式=5．計算曲面積分,其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面z=0及z=2之間的部分．解：原式=（兩類曲面積分的互化）（第二類曲面積分