圖論初步與矩陣方程

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1、第12章電路方程的矩陣形式重點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣、割集矩陣、基本回路矩陣和基本割集矩陣的概念回路電流方程、結(jié)點(diǎn)電壓方程和割集電壓方程的矩陣形式12.1圖的矩陣表示電路的圖表征了網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和拓?fù)?，依?jù)電路的圖，可以寫出網(wǎng)絡(luò)的KCL和KVL方程。圖的矩陣表示用矩陣描述圖的拓?fù)湫再|(zhì)，即KCL和KVL的矩陣形式。結(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣回路支路回路矩陣割集支路割集矩陣1.關(guān)聯(lián)矩陣一條支路連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，稱該支路與這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，結(jié)點(diǎn)和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣Aa描述。N個(gè)結(jié)點(diǎn)b條支路的圖用n?b的矩陣描述ajkajk

2、=1支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)，方向背離結(jié)點(diǎn)。ajk=-1支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)，方向指向結(jié)點(diǎn)ajk=0支路k與結(jié)點(diǎn)j無關(guān)Aa=n?b支路b結(jié)點(diǎn)n每一行對應(yīng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)，每一列對應(yīng)一條支路，矩陣Aa的每一個(gè)元素定義為：例Aa=1234123456支結(jié)-1-10100001-1-1010001101-100-1每一列只有兩個(gè)非零元素，一個(gè)是+1，一個(gè)是-1，Aa的每一列元素之和為零。矩陣中任一行可以從其他n-1行中導(dǎo)出，即只有n-1行是獨(dú)立的。1２３６５４①②④③關(guān)聯(lián)矩陣Aa的特點(diǎn)：引入降階關(guān)聯(lián)矩陣AA=(n-1

3、)?b支路b結(jié)點(diǎn)（n-1）設(shè)④為參考節(jié)點(diǎn),得降階關(guān)聯(lián)矩陣A=123123456支結(jié)-1-10100001-1-101000111２３６５４①②④③設(shè)③為參考節(jié)點(diǎn),得降階關(guān)聯(lián)矩陣Aa=124123456支結(jié)-1-10100001-1-1001-100-1注給定A可以確定Aa，從而畫出有向圖。引入關(guān)聯(lián)矩陣A的作用：設(shè):用關(guān)聯(lián)矩陣A表示矩陣形式的KCL方程1２３６５４①②④③-1-10100001-1-10100011[A][i]=矩陣形式的KCL:[A][i]=0以④為參考節(jié)點(diǎn)n-1個(gè)獨(dú)立方程1２３

4、６５４①②④③設(shè):用矩陣[A]T表示矩陣形式的KVL方程2.回路矩陣B1支路j在回路i中方向一致-1支路j在回路i中方向相反0支路j不在回路i中bij=一個(gè)回路由某些支路組成，稱這些支路與該回路相關(guān)聯(lián)，獨(dú)立回路與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用回路矩陣B描述。[B]=l?b支路b獨(dú)立回路l每一行對應(yīng)一個(gè)獨(dú)立回路，每一列對應(yīng)一條支路，矩陣B的每一個(gè)元素定義為：2。支路排列順序?yàn)橄葮渲Ш筮B支，回路順序與連支順序一致若獨(dú)立回路選單連枝回路得基本回路矩陣[Bf]，規(guī)定：1。連支電流方向?yàn)榛芈冯娏鞣较蚶【W(wǎng)孔為獨(dú)立回

5、路，順時(shí)針方向1231２３６５４①②④③123B=123456支回01110000-10-111-1000-1注給定B可以畫出有向圖。選4、5、6為樹，連支順序?yàn)?、2、3。123B=456123支回1-101001-11010=[Bt1]01-1001BtBl1２３６５４①②④③例設(shè)矩陣形式的KVL：[B][u]=01２３６５４①②④③引入回路矩陣[B]的作用：用回路矩陣[B]表示矩陣形式的KVL方程[B][u]=1-101001-1101001-1001BtBl[Bf][u]=0可寫成Btu

6、t+ul=0ul=-Btut設(shè)連支電壓用樹支電壓表示用回路矩陣[B]T表示矩陣形式的KCL方程矩陣形式的KCL：[B]T[il]=[ib][Bf]=[Bt1]樹支電流用連支電流表出1２３６５４①②④③獨(dú)立回路電流3.基本割集矩陣Q每一行對應(yīng)一個(gè)基本割集每一列對應(yīng)一條支路，矩陣Q的每一個(gè)元素定義為：qij=1支路j在割集i中且與割集方向一致-1支路j在割集i中且與割集方向相反0支路j不在割集中割集與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用割集矩陣描述，這里主要指基本割集矩陣。[Q]=(n-1)?b支路b割集數(shù)規(guī)定：(

7、1)割集方向?yàn)闃渲Х较?2)支路排列順序先樹支后連支(3)割集順序與樹支次序一致若選單樹枝割集為獨(dú)立割集，得基本割集矩陣[Qf]1２３６５４①②④③例選4、5、6支路為樹Q1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}Q=456123支割集Q1Q2Q3100-1-1001011-10010-11QlQt設(shè)矩陣形式的KCL：引入基本割集矩陣[Qf]的作用：用基本割集矩陣[Qf]表示矩陣形式的KCL方程1２３６５４①②④③100-1-1001011-10010-11[Qf][ib]=

8、矩陣形式的KCL：[Qf][ib]=0設(shè)樹枝電壓（或基本割集電壓）：ut=[u4u5u6]T用[Qf]T表示矩陣形式的KVL方程1２３６５４①②④③矩陣形式的KVL：[Qf]T[ut]=[ub]連支電壓用樹支電壓表示QQi=0QTut=u小結(jié)：ul=-BtutABKCLAi=0BTil=iKVLATun=uBu=0對同一有向圖，支路排列次序相同時(shí)，滿足：在任一網(wǎng)絡(luò)的有向圖中，選一個(gè)參考結(jié)點(diǎn)可以寫出關(guān)聯(lián)矩陣A，選擇一樹可以寫出基本回路矩陣[Bf]和基本割集矩陣[Qf]，因此三個(gè)矩陣是從不同角度表示