圖解法分析火車轉(zhuǎn)彎

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1、圖解法分析火車轉(zhuǎn)彎問題問題的提出基本概念火車轉(zhuǎn)彎時如果速度合適，鐵軌就不會受到輪緣的側(cè)向壓力。如果速度低于所要求的速度，內(nèi)側(cè)鐵軌就會受到側(cè)向擠壓；如果速度高于所要求的速度，外側(cè)鐵軌就會受到側(cè)向擠壓。這個結(jié)論需要高中生掌握，但這個結(jié)論的得出，我們不得不承認在一定程度上是憑的直覺。本文試圖用圖解法來討論這個問題。在本文中，我們約定平行于鐵軌所在平面的壓力稱為側(cè)向壓力；垂直于鐵軌所在平面的壓力稱為正壓力。定性分析我們所要討論的問題中軌道圓在水平面內(nèi)，因此合力（向心力）的方向總是水平的。另一方面，重力的大小和方向也總是不變的。我們的討論也是基

2、于這兩個不變性的：支持力所在直線合力所在直線向心力增大的方向重力GOMNA1A2A3A4B1B2B3B4B5C1C2C3C4C5D1D2D3D4D5圖1圖2圖3圖4在圖1中，火車的速度恰好符合要求，重力和支持力的合力提供火車做圓周3運動的向心力。若火車的速度減小，根據(jù)向心力的表達式知向心力將減小。然而重力是不變的，因此其他力的合力將變成圖2中粉紅色的有向線段所表示的力。我們進一步分析這個力的分力：一是軌道對火車的垂直于軌道所在平面的力（正壓力）；一是軌道對火車的平行于軌道所在平面的力（側(cè)向壓力）。我們把這個粉紅色的線段所表示的力分解到

3、它的兩個分力所在的方向，就得到了表示側(cè)向壓力的線段和正壓力的線段（圖2中鮮綠色線段）。從圖中可以看出，這時火車將受到一個沿軌道平面向上的側(cè)向壓力，并且它將隨著速度的減小而增大（圖4）。另一方面，表示垂直于斜面的支持力（正壓力）的線段比原來短了，表明支持力減小了，并且我們會看到，隨著速度的減小，支持力將逐漸減小。當火車的速度增大時（大于所要求的數(shù)值），用同樣的方法（圖3）可以得到：火車將受到一個沿軌道所在平面向下的側(cè)向壓力，并且隨著速度的增大而增大（圖4）。另一方面，支持力將大于原來的支持力（圖3），并且隨著速度的增大而增大（圖4）。定

4、量計算側(cè)向壓力的計算：首先我們先看速度較小時的情景，如圖2所示，設(shè)軌道所在平面的傾角為，火車駛過轉(zhuǎn)彎處沒有側(cè)向壓力時的速度為。則：OvF側(cè)速度較大時，如圖3所示。有：如果我們規(guī)定沿軌道所在平面向上為正，向下為負，則上面的計算結(jié)果可以歸納為一個公式：OvF正上面的結(jié)果表明：當速度為零時，側(cè)向壓力為，這是我們熟知的重力沿斜面向下的分力；當側(cè)向壓力為零時，速度為。側(cè)向壓力大小隨速度的變化情況從圖象中一目了然，但要注意這里的正負表示的并非大小，而是方向。正壓力的計算：以小于規(guī)定速度行駛有：以大于規(guī)定速度行駛有：從上面的計算可以看出，不管哪種情

5、況，我們總有：3從上式可以看出：當速度為零時，正壓力為；當以規(guī)定的速度行駛時，正壓力為。正壓力隨速度變化的情況從圖象中一目了然。示例：如圖所示，火車道轉(zhuǎn)彎處的半徑為r，火車質(zhì)量為m，兩鐵軌的高度差為h（外軌略高于內(nèi)軌），兩軌間距為L(L>>h)，求：(1)火車以多大的速率υ轉(zhuǎn)彎時，兩鐵軌不會給車輪沿轉(zhuǎn)彎半徑方向的側(cè)壓力？(2)υ是多大時外軌對車輪有沿轉(zhuǎn)彎半徑方向的側(cè)壓力？(3)υ是多大時內(nèi)軌對車輪有沿轉(zhuǎn)彎半徑方向的側(cè)壓力？解答：設(shè)內(nèi)外軌間的距離為L，內(nèi)外軌的高度差為h，火車轉(zhuǎn)彎的半徑為R，則火車轉(zhuǎn)彎的規(guī)定速度為v0？F合=mgtanα

6、≈mgsinα=mgh/L由牛頓第二定律得：F合=ma所以mgh/L=即火車轉(zhuǎn)彎的規(guī)定速度根據(jù)牛頓第二定律3