2、n-1+Fn-2,F1=F2=1.返回一差分方程模型1．常系數(shù)線性齊次差分方程的解法形如an+b1an-1+b2an-2+…+bkan-k=0（1）(其中bi為常數(shù)，bk≠0,n>=k.)的差分方程，稱為{an}的k階常系數(shù)線性齊次差分方程。Xk+b1xk-1+…+bk=0為上述差分方程的特征方程，其根稱為特征根。解分為三種情況：（1）單根若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0有k個(gè)相異的特征根x1,x2,…,xk，則an=c1x1n+c2x2n+…+ckxkn是一個(gè)通解，其中ci為常數(shù)，由初始條
3、件a0=u0,a1=u1,…,ak-1=uk-1可確定一個(gè)滿足初始條件的特解。二差分方程解法（2）重根若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0的相異特征根x1,x2,…,xt，重?cái)?shù)依次為m1,m2,…,mt,m1+m2+…+mt=k，則差分方程的通解為（3）共軛復(fù)根若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0有一對共軛復(fù)根,和相異的k-2個(gè)實(shí)根x3,…,xk，則差分方程的通解為，其中常系數(shù)線性非齊次差分方程的解法形如an+b1an-1+b2an-2+…+bkan-k=f(n)（1）(其
4、中bi為常數(shù)，bk≠0,n>=k,f(n)≠0)的差分方程，稱為{an}的k階常系數(shù)線性非齊次差分方程。非齊次差分方程的通解等于對應(yīng)的齊次差分方程的通解加上非齊次差分方程的一個(gè)特解。2.返回三、差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性1．一階線性常系數(shù)差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性一階線性常系數(shù)差分方程xk+1+axk=b,k=0,1,2,…（1）的平衡點(diǎn)由x+ax=b解得，為，當(dāng)時(shí)，若xk?x*，則x*是穩(wěn)定的。方程（1）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問題可以通過變量代換轉(zhuǎn)換為齊次方程xk+1+axk=0,k=0,1,2…(2)的平衡點(diǎn)x*=0的穩(wěn)定
5、性問題。而對于方程（2），其解可以表示為xk=(-a)kx0,k=1,2,…(3)所以當(dāng)且僅當(dāng)
6、a
7、<1時(shí)，方程（2）（從而方程（1））的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。對于n維向量x(k)和n╳n常數(shù)矩陣A構(gòu)成的方程組x(k+1)+Ax(k)=0其平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件是A的特征根λi,I=1,2,…，均有
8、λi
9、<1。2．二階線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性考察二階線性差分方程xk+a1xk+1+a2xk+2=0(4)在平衡點(diǎn)x*=0的穩(wěn)定性。為求（4）的通解，先寫出他的特征方程記它的根為λ1，λ2，則（4）的通解可以表示為，其中常數(shù)c1
10、,c2由初始條件x0,x1確定，從而可知，當(dāng)且僅當(dāng)
11、λ1
12、<1,
13、λ2
14、<1時(shí)方程（4）的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。3一階非線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性考察一階非線性差分方程xk+1=f(xk)(7)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。其平衡點(diǎn)x*由x=f(x)解出。將（7）的右端在x*點(diǎn)做泰勒展開，只取一次項(xiàng)，則（7）可以近似為：（8）x*也是（8）的平衡點(diǎn)。線性方程（8）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性討論同（1），而當(dāng)
15、f’(x*)
16、≠1時(shí)（7）與（8）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性相同。從而有：當(dāng)
17、f’(x*)
18、<1時(shí)，方程（7）的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；當(dāng)
19、f’(x*)
20、
21、>1時(shí)，方程（7）的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。返回四、建模案例--最優(yōu)捕魚策略問題簡介生態(tài)學(xué)原理：對可再生資源的開發(fā)策略應(yīng)為在可持續(xù)收獲的前提下追求最大經(jīng)濟(jì)效益?？紤]4個(gè)年齡組：1齡魚，2齡魚，3齡魚，4齡魚的某魚類。該魚類在每年后4個(gè)月產(chǎn)卵繁殖。因而捕撈只能在前8個(gè)月進(jìn)行。每年投入的捕撈能力不變，單位時(shí)間捕撈量與各年齡組魚群條數(shù)的比例稱為捕撈強(qiáng)度系數(shù)。且只能捕撈3、4齡魚，兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)比為0.42：1。即為固定努力量捕撈。魚群數(shù)據(jù)為：(1)各年齡組魚的自然死亡率為0.8（1/年），其平均重量分別為5.07，11.55，
22、17.86，22.99（g）;(2)???1齡魚和2齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵期間，平均每條4齡魚產(chǎn)卵量為1.109╳105（個(gè)），3齡魚為其一半；(3)卵孵化的成活率為1.22╳1011/（1.22╳1011+n）(n為產(chǎn)卵總量)；問題描述如下：如何實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時(shí)漁場中各年齡組魚群不變），并在此前提下得到最高收獲量；合同要求某漁業(yè)公司
