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《高考數(shù)學典型例題---數(shù)學歸納法解題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在工程資料-天天文庫。
1、實用文檔數(shù)學歸納法每臨大事,必有靜氣;靜則神明,疑難冰釋;積極準備,坦然面對;最佳發(fā)揮,舍我其誰?結合起來看效果更好體會絕妙解題思路建立強大數(shù)學模型感受數(shù)學思想魅力品味學習數(shù)學快樂數(shù)學歸納法是高考考查的重點內容之一.類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.●難點磁場(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c).●案例探究［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞
2、2bn.文案大全實用文檔命題意圖：本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.錯解分析：應分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.證明：(1)設a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn(2)設a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N)下面用數(shù)學歸納法證明：①當n=2時，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴
3、②設n=k時成立，即則當n=k+1時，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列.(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結論；(3)求數(shù)列{an}所有項的和.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法、數(shù)列極限等基礎知識.知識依托：等比數(shù)列的性質及數(shù)學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯解分析：(2)中，Sk=－應舍去，這一點往往容易
4、被忽視.技巧與方法：求通項可證明{}是以{}為首項，文案大全實用文檔為公差的等差數(shù)列，進而求得通項公式.解：∵an,Sn,Sn－成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)()(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入()式得:a2=－由a1=1，a2=－,S3=+a3代入()式得：a3=－同理可得：a4=－,由此可推出：an=(2)①當n=1,2,3,4時，由()知猜想成立.②假設n=k(k≥2)時，ak=－成立故Sk2=－·(Sk－)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk=(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1－
5、),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)由①②知，an=對一切n∈N成立.(3)由(2)得數(shù)列前n項和Sn=,∴S=Sn=0.●錦囊妙記(1)數(shù)學歸納法的基本形式設P(n)是關于自然數(shù)n的命題，若1°P(n0)成立(奠基)2°假設P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n文案大全實用文檔)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.(2)數(shù)學歸納法的應用具體常用數(shù)學歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.●殲滅難點訓練一、選擇題1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+
6、9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A.30B.26C.36D.62.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空題3.(★★★★★)觀察下列式子：…則可歸納出_________.4.(★★★★)已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想an=_________.三、解答題5.(用數(shù)學歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈N.6.若n為大于1的自然數(shù)，求證：.7.已知數(shù)列{bn}是
7、等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn;文案大全實用文檔(2)設數(shù)列{an}的通項an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結論.8.(★★★★★)設實數(shù)q滿足q＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達式，又如果S2n＜3,求q的取值范圍.參考答案解：假設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有于是，對n=1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n(n+1)2=
8、記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2設n=k時上式成立，即Sk=(3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2
