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《相似矩陣與矩陣可對(duì)角化的條》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、§3.2相似矩陣與矩陣可對(duì)角化的條件相似矩陣及其性質(zhì)矩陣可對(duì)角化的條件1一、相似矩陣及其性質(zhì)1.Def.:設(shè)A,B為n階矩陣,若存在n階可逆矩陣P,使得P-1AP=B,則稱矩陣A與矩陣B相似,記作A~B.如設(shè)易驗(yàn)證??注2一、相似矩陣及其性質(zhì)1.Def.:設(shè)A,B為n階矩陣,若存在n階可逆矩陣P,使得P-1AP=B,則稱矩陣A與矩陣B相似,記作A~B.(1)自反性:A~A(2)對(duì)稱性:若A~B,則B~A2.相似的性質(zhì)1)設(shè)A，B，C為n階矩陣，則(3)傳遞性:若A~B,B~C,則A~C2)設(shè)矩陣A~B，則A,B具有相同的特征值.3)設(shè)矩陣A~B，則Am~Bm,其中m為正整數(shù).3一、相似矩陣
2、及其性質(zhì)1.Def.:設(shè)A,B為n階矩陣,若存在n階可逆矩陣P,使得P-1AP=B,則稱矩陣A與矩陣B相似,記作A~B.2.相似的性質(zhì)2)設(shè)矩陣A~B，則A,B具有相同的特征值.3)設(shè)矩陣A~B，則Am~Bm,其中m為正整數(shù).4)相似矩陣的行列式相等.5)相似矩陣的秩相等.6)相似矩陣或都可逆或都不可逆.當(dāng)它們都可逆時(shí)，它們的逆矩陣也相似.4二、矩陣可對(duì)角化的條件1.Def.:若n階矩陣A可以與一個(gè)n階對(duì)角矩陣?相似，則稱A可對(duì)角化，?稱為A的相似標(biāo)準(zhǔn)形.2.Th.:n階矩陣A可對(duì)角化?A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.推論:若n階矩陣A有n個(gè)互異的特征值,則A可對(duì)角化.3.Th.:n階矩陣A可
3、對(duì)角化?對(duì)于A的每一個(gè)ni重特征值?i,特征矩陣(?iE–A)的秩等于n–ni;?對(duì)于A的每一個(gè)ni重特征值?i,齊次線性方程組(?iE–A)X=0的基礎(chǔ)解系中恰有ni個(gè)向量.4.判斷矩陣A是否可對(duì)角化,若能,試求可逆矩陣P,使P-1AP=?的方法.5例1設(shè)有矩陣(1)問(wèn)矩陣A是否可對(duì)角化,若能,試求可逆矩陣P,使P-1AP=?;(2)使P-1AP=?成立的P、?是否唯一,舉例說(shuō)明.6例2判定下列矩陣是否相似于對(duì)角矩陣,若相似,則求出可逆矩陣P,使P-1AP是對(duì)角矩陣,并求A5.例3設(shè)相似于對(duì)角矩陣,求x與y應(yīng)滿足的條件.7例4設(shè)3階矩陣A的特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量依次為求A和A100.8相
4、似與等價(jià)的關(guān)系若兩個(gè)矩陣相似，則它們一定等價(jià);反之，兩個(gè)等價(jià)的矩陣不一定相似.作業(yè):第143頁(yè)第4題之(3);第7題;第8題92.若3×4矩陣A的秩為2,則()A中必有一個(gè)零行;A中必有兩行元素成比例;A中任一行向量都能由其余兩個(gè)行向量線性表示;通過(guò)初等行變換,可將A的第三行化為零向量.3.設(shè)A是n階方陣,AX=0有非零解,證明AATX=0也有非零解.101112
