等差數(shù)列定義及通項公式

《等差數(shù)列定義及通項公式》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、等差數(shù)列定義及通項公式基礎(chǔ)教育系一、舉例4，5，6，7，8，9，10；⑴3，0，-3，-6，…；⑵1/10，2/10，3/10，4/10，…；⑶特點：從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一常數(shù)。二、等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列;這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差;公差通常用字母d表示。在數(shù)列{an}中，若an+1-an=d(n∈N*),d為常數(shù)，則{an}是等差數(shù)列。常數(shù)d叫做等差數(shù)列的公差。特例：0，0，0，0，…a,a,a,a,…理解：①第二項起；②“同

2、一個”③求公差d時，可以用d＝an–an－1，也可以用d＝an+1–an；④公差d∈R，當(dāng)d=0時，數(shù)列為常數(shù)列，d>0時,數(shù)列為遞增數(shù)列，d<0時,數(shù)列為遞減數(shù)列；⑤d＝an–an－1或d＝an+1–an是證明或判斷等差數(shù)列的依據(jù)。三、等差數(shù)列的通項公式：1、公式推導(dǎo)：歸納法：∵{an}是等差數(shù)列，則有a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d……an=an-1+d=a1+(n–1)d∴an=a1+(n–1)d又，當(dāng)n=1時

3、,等式成立∴n∈N*時，an=a1+(n–1)d疊加法：∵{an}是等差數(shù)列，則有an－an-1＝dan-1－an-2＝dan-2－an-3＝d……a2－a1＝d∴an–a1=(n–1)d∴an=a1+(n–1)d2、通項公式：an=a1+(n–1)d，a1為首項，d為公差。3、公式變形：對任意的p、q∈N*，在等差數(shù)列中，有ap=a1+(p–1)daq=a1+(q–1)d∴ap–aq=(p–q)d∴ap=aq+(p–q)d(其中p、q的關(guān)系可以有p>q,p=q,p

4、；②已知等差數(shù)列的任意兩項，可以確定數(shù)列的任意一項。四、例題評講：例1、判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列。⑴1，2，4，6，8；⑵2，4，6，8，10；⑶0，0，0，0，0；⑷1，2，4，7，11；例2、⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項。⑵－401是不是等差數(shù)列–5，–9，–13，…的項？如果是，是第幾項？分析：對于⑴小題，是由公式求指定項，為此將a1=8,d=–3,n=20代入，就可求出相應(yīng)的項。對于⑵小題，是判斷一個數(shù)是否為等差數(shù)列的項，可用解方程的方法。⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項。解：由a1=8,d=5-8=-3,n=

5、20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49⑵－401是不是等差數(shù)列–5，–9，–13，…的項？如果是，是第幾項？解：由a1=-5，d=-9-(-5)=-4,得an=-5-4(n-1)令-401=-5-4(n-1)解得n=100，即-401是為個數(shù)列的第100項。說明：判斷一個數(shù)是否為等差數(shù)列的項，要看關(guān)于通項公式構(gòu)成的以n為末知數(shù)的方程有沒有正整數(shù)解。例3、在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10,a12=31，求首項a1與公差d。解：依題意得a1+4d=10a1+11d=31解得：a1=-2,d=3;即這個等差數(shù)列的首項是-2

6、，公差是3。五、課堂練習(xí)：1、求等差數(shù)列3，7，11，…的第4項與第10項。2、求等差數(shù)列10，8，6，…的第20項。3、在等差數(shù)列{an}中，已知a4=10,a7=19求首項a1與公差d。4、在等差數(shù)列{an}中，已知a3=9,a9=3求首項a1與公差d。