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1、第四節(jié)逆矩陣及伴隨矩陣1逆矩陣（P110，定義2.9）一基本概念1.互逆矩陣可換，是同階方陣。即：若成立，則也成立。2.逆矩陣唯一。3.零矩陣不可逆；單位矩陣與其自身互為逆陣。4.注：2奇異矩陣：【P111，例2】【P111，例3】【例】河南財經(jīng)學院信息學院廖揚3伴隨矩陣二逆矩陣存在定理1.矩陣可逆的充要條件是2.若A可逆，則【P114，例4】【P115，例5】【P117，例6】河南財經(jīng)學院信息學院廖揚轉(zhuǎn)置逆伴隨三轉(zhuǎn)置矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣的運算性質(zhì)【例】河南財經(jīng)學院信息學院廖揚使得呢?使得即對于任意非零的數(shù)，如果存在另一個數(shù)，倒數(shù)：則說是的倒數(shù).一、逆矩
2、陣產(chǎn)生的背景矩陣:運算中的1，矩陣，在矩陣的運算中，單位陣相當于數(shù)的乘法那么，對于矩陣Ａ，是否存在另一個河南財經(jīng)學院信息學院廖揚1、逆矩陣的概念例如設使得則說矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的一個逆矩陣，記作對于階矩陣，如果存在階矩陣，定義2.4.1河南財經(jīng)學院信息學院廖揚河南財經(jīng)學院信息學院廖揚事實上，若設和都是的逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的。河南財經(jīng)學院信息學院廖揚2奇異矩陣與非奇異矩陣設是奇異矩陣是非奇異矩陣,0,,0稱為非奇異矩陣時當稱為奇異矩陣時當AAAA1=河南財經(jīng)學院信息學院廖揚定義2設為階方陣，的行列式的元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置
3、矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣。即記為3伴隨矩陣河南財經(jīng)學院信息學院廖揚解：【P114，例4】求的伴隨矩陣。河南財經(jīng)學院信息學院廖揚逆矩陣的存在定理：證明：若可逆，矩陣可逆的充要條件是且當A可逆時河南財經(jīng)學院信息學院廖揚河南財經(jīng)學院信息學院廖揚按逆矩陣的定義得牢記：記住了嗎？河南財經(jīng)學院信息學院廖揚若可逆，則證明：河南財經(jīng)學院信息學院廖揚若可逆，則也可逆，且證明：河南財經(jīng)學院信息學院廖揚若、是同階可逆陣，則也可逆，且證明：特別有：（反序定律）河南財經(jīng)學院信息學院廖揚證明：求證回顧河南財經(jīng)學院信息學院廖揚求證證明：河南財經(jīng)學院信息學院廖揚求證證明河南財經(jīng)學院信息學院
4、廖揚河南財經(jīng)學院信息學院廖揚若可逆，則也可逆，且證明：求證河南財經(jīng)學院信息學院廖揚求證證明河南財經(jīng)學院信息學院廖揚求證證明原命題得證河南財經(jīng)學院信息學院廖揚【P111，例2】證明矩陣證明：的逆矩陣為故，原命題得證河南財經(jīng)學院信息學院廖揚【P111，例3】，求證A可逆，并求其逆矩陣.證明：故，A可逆，且河南財經(jīng)學院信息學院廖揚由，得【例】可逆，并求它們的逆矩陣.由設方陣滿足方程，證明證明河南財經(jīng)學院信息學院廖揚由還可以得到但是，等式右端為0的這個結(jié)論對于本題沒有用處。我們希望等式右端應該為E或者kE。河南財經(jīng)學院信息學院廖揚解：【P115，例5】河南財經(jīng)學院
5、信息學院廖揚【P117，例6】設A是非奇異矩陣，且AB=AC,求證：B=C將AB=AC兩端同乘以得證明：由于A是非奇異矩陣，故存在。即從而同理，A可逆時，由AB=O可得B=O。,即消去律成立河南財經(jīng)學院信息學院廖揚【例】設A的逆矩陣為求解：河南財經(jīng)學院信息學院廖揚河南財經(jīng)學院信息學院廖揚河南財經(jīng)學院信息學院廖揚河南財經(jīng)學院信息學院廖揚河南財經(jīng)學院信息學院廖揚河南財經(jīng)學院信息學院廖揚
