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1、一階微分方程的解法第二節(jié)第八章一、可分離變量微分方程二、齊次微風(fēng)方程三、一階線性微分方程四、伯努利方程*（了解）一、可分離變量微分方程定義：形如第八章或的方程稱為可分離變量方程。特點(diǎn)：變量x及dx與變量y及dy能分離在方程兩端。分離變量方程的解法:再兩邊積分,得②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G?(y)?g(y)?0時(shí),的隱函數(shù)y＝?(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解.同樣,當(dāng)F?(x)=f(x)≠0時(shí),由②確定的隱函數(shù)x＝?(y)也是①的解.設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為G(y),F(x),說明由②確定先分離變量：例1.求微分方程的通解.解:分離變量得兩邊積分得即(
2、C為任意常數(shù))或說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式在分離變量時(shí)丟失的解y=0)例2.解初值問題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C為任意常數(shù))故所求特解為例3.求下述微分方程的通解:解:令則故有即解得(C為任意常數(shù))所求通解:二、齊次方程形如的方程叫做齊次方程.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:定義：特點(diǎn)：右端能化為以為內(nèi)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。例4.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(當(dāng)C=0時(shí),y=0也是方程的解)(C為任意常數(shù))此處三、一階線性微分方程定
3、義：形如稱為一階線性微分方程。特點(diǎn)：變量及y都是“一次”的。上方程稱為一階線性齊次方程.上方程稱為一階線性非齊次方程.例如線性的;非線性的.齊次方程的通解為1.線性齊次方程(使用分離變量法)一階線性微分方程的解法例5、若連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式討論:設(shè)y=f(x)是解,則積分非齊方程通解形式2.線性非齊次方程常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.設(shè)解為積分得非齊方程通解一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解對應(yīng)齊次方程通解與非齊次方程特解之和。解例6、如圖所示，平行于軸的動(dòng)直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面
4、積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程例7、所求曲線為*四、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:伯努利方程為線性微分方程.方程為非線性微分方程.解法:經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利例8.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:(雅各布第一·伯努利)書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.
5、年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多1694年他首次給出了直角坐1713年出這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外,他對雙紐線,懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究.
