數(shù)學(xué)趣聞集錦

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1、數(shù)學(xué)趣聞集錦》之歐拉與哥尼斯堡七橋問題（摘自《數(shù)學(xué)趣聞集錦》,T·帕帕斯）ReadEuler,readEuler,heisthemasterofusall.P.-S.deLaplace　　拓?fù)鋵W(xué)起源于公元1736年一個著名問題——哥尼斯堡七橋問題——的解決．　　哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含兩個島嶼及連接它們的七座橋．該河流經(jīng)城區(qū)的這兩個島．島與河岸之間架有六座橋，另一座橋則連接著兩個島．星期天散步已成為當(dāng)?shù)鼐用竦囊环N習(xí)慣，但試圖走過這樣的七座橋，而且每橋只走過一次卻從來沒有成功過．但直至引起瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(LeonhardEuler，1707—1783)注

2、意之前，沒有人能夠解決這個問題．　　那時，歐拉正在圣彼得堡為俄國女皇凱瑟琳服務(wù)．在解決該問題的過程中，歐拉創(chuàng)立了一個數(shù)學(xué)分支，即后來人們所熟知的拓?fù)鋵W(xué)．他在解哥尼斯堡七橋問題時，采用了今天人們稱之為網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋵W(xué)知識．運用網(wǎng)絡(luò)，歐拉證明了要走過哥尼斯堡的七座橋且每橋只通過一次是不可能的．　　這一問題及歐拉的解答，開創(chuàng)了拓?fù)鋵W(xué)研究的先河．拓?fù)鋵W(xué)是一個相對較新的領(lǐng)域．19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才開始對它以及其他的非歐幾何開展研究．論述拓?fù)鋵W(xué)的第一篇論文，寫于1847年．　網(wǎng)絡(luò)　　一個網(wǎng)絡(luò)基本上可以看成是一個問題的圖樣．哥尼斯堡七橋問題的網(wǎng)絡(luò)可以圖解如下．　　一個網(wǎng)絡(luò)由頂點和弧線組成．

3、一個可以遍歷的網(wǎng)絡(luò)是指它可以準(zhǔn)確一次地穿經(jīng)所有的弧線，但頂點卻可以通過任意次數(shù)．哥尼斯堡七橋問題的網(wǎng)絡(luò)頂點，有如上圖所示的A，B，C，D．注意每個頂點發(fā)出的弧線數(shù)——A為3，B為5，C為3，D為3．由于這些數(shù)全是奇數(shù)，這類頂點我們稱之為奇頂點或奇點．如果一個頂點發(fā)出的弧線數(shù)為偶數(shù)，我們則稱之為偶頂點或偶點．歐拉發(fā)現(xiàn)，對于一個可以遍歷的網(wǎng)絡(luò)，其奇、偶點具有許多性質(zhì)．特別地，歐拉注意到：一個奇頂點在這種遍歷式的旅行中，要么是起點，要么是終點．由于一個遍歷的網(wǎng)絡(luò)只能有一個起點和一個終點，因而這種網(wǎng)絡(luò)的奇點數(shù)不能多于兩個．然而在哥尼斯堡七橋問題的網(wǎng)絡(luò)中卻有四個奇點，因而它是不可

4、能被遍歷的．　　以上網(wǎng)絡(luò)中哪一個是可以遍歷的(即一筆而不重復(fù)地畫成)？你能找到穿經(jīng)每個門各一次且筆不離紙的通道嗎？試證明你的結(jié)論．（摘自《數(shù)學(xué)趣聞集錦》,T·帕帕斯）