偏微分方程離散-差分格式-差分方法等

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1、1（三）偏微分方程的數(shù)值離散方法3.1有限差分法3.2有限體積法(有限元，譜方法，譜元，無網(wǎng)格，有限解析，邊界元，特征線）23.1有限差分法3.1.1模型方程的差分逼近3.1.2差分格式的構(gòu)造3.1.3差分方程的修正方程3.1.4差分方法的理論基礎3.1.5守恒型差分格式3.1.6偏微分方程的全離散方法33.1.1模型方程的差分逼近43.1.2差分格式的構(gòu)造53.1.3差分方程的修正方程差分方程所精確逼近的微分方程稱為修正方程對于時間發(fā)展方程，利用展開的方程逐步消去帶時間的高階導數(shù)，只留空間導數(shù)。Warming-Hyett方法：差分方程(2)寫成算子的形式：63.1.3

2、差分方程的修正方程(續(xù))73.1.3差分方程的修正方程(續(xù))83.1.4差分方法的理論基礎相容性，穩(wěn)定性，收斂性等價性定理Fourier穩(wěn)定性分析93.1.4差分方法的理論基礎（續(xù)）Fourier(VonNeumann)穩(wěn)定性分析103.1.4差分方法的理論基礎（續(xù)）Fourier(VonNeumann)穩(wěn)定性分（續(xù)）稱為CFL條件(Courant,Friedrichs,Levy)113.1.5守恒型差分格式流體力學方程組描述物理量的守恒性；守恒律組：定義123.1.5守恒型差分格式（續(xù)）守恒性質(zhì)：非守恒的差分格式一般沒有對應于原始守恒律的“離散守恒律”。133.1.5

3、守恒型差分格式（續(xù)）守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理：如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且當時間和空間步長趨于零時，差分解一致有界，幾乎處處收斂于分片連續(xù)可微的函數(shù)，則這個收斂的函數(shù)就是守恒律的一個弱解。推論：守恒型差分各式的收斂解能自動滿足間斷關(guān)系。用途:(加上熵條件）可以得到正確的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，MacCormack格式143.1.6偏微分方程的全離散方法對差分格式的一般要求：有精度、格式穩(wěn)定、求解效率高特殊要求物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋渦、多介質(zhì)、化學反應等）

4、、有界性(正密度、正溫度、正湍動能、正組分濃度等)主要指非定常方程的時間離散153.1.6偏微分方程的全離散方法(續(xù)）兩層格式Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack格式Runge-Kutta方法時空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法多層格式Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三點隱格式163.1.6.1兩層格式Crank-Nicolson格式Predictor-Corrector格式Lax-Wendroff格式MacCormack格式Runge-

5、Kutta方法173.1.6.1兩層格式(cont.）Lax-Wendroff格式一步LW格式183.1.6.1兩層格式(cont.）Lax-Wendroff格式兩步LW格式常系數(shù)Jacobian時與單步LW等價。但計算更簡單，不涉及矩陣相乘。193.1.6.1兩層格式(cont.）MacCormack格式(1969)兩步格式比LW更簡單，不需要計算函數(shù)在半點上的值。LW兩步格式和MC各式的缺點：定常解的誤差依賴于時間步長。20MacCormack格式的構(gòu)造213.1.6.2三層格式Leap-Frog格式Adams-Bashforth格式22第二課后閱讀提示傅德薰《計算

6、流體力學》，3.1–3.3水鴻壽《一維流體力學數(shù)值方法》3.1《ComputationalMethodsforFluidDynamics》,FerzigerandPeric,SpringerChap.623作業(yè)21.用Fourier法分析3.1.6.1節(jié)中Crank-Nicolson格式的穩(wěn)定性。2.分析前面3.1.6節(jié)中MacCormack格式是幾階精度。243.2有限體積法出發(fā)方程為積分型守恒方程（直角坐標、柱坐標、球坐標）以控制體為離散量計算體積分和面積分需要適當?shù)牟逯倒胶头e分公式(quadratureformula)適用于任意形狀的網(wǎng)格，復雜幾何形狀缺點：難以

7、構(gòu)造大于二階以上的格式253.2.1定常守恒型方程和控制體263.2.2面積分的逼近面積分用積分點的值表示(quadrature)積分點的值用CV的值表示(interpolation)對于Simpson公式,對積分點的插值需要四階精度273.2.4體積分的逼近當被積函數(shù)為某種型函數(shù)時，可以得到精確的積分，逼近精度取決于型函數(shù)的精度。283.2.4體積分的逼近四階精度：2D直角坐標網(wǎng)格最后一式可以四階精度逼近3D的面積分293.2.5插值和微分積分點的函數(shù)值和其法向梯度1stUDS:取上風點的值30插值2ndorder:向積分點線性插值等價