屋檐水槽數(shù)學(xué)模型

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1、屋檐水槽模型1.問(wèn)題的提出某居民想在房屋的屋檐處安裝一個(gè)檐槽，以方便雨天出入.從屋脊到屋檐的屋頂部分是一個(gè)長(zhǎng)12m、寬6m的矩形平面，屋頂與水平面的夾角為（單位：弧度）?，F(xiàn)有一家裝修公司想承接這一工程，并給出承諾：提供一種新型耐用的檐槽，包括一個(gè)橫截面是半徑為7.5cm的半圓形水槽和一個(gè)直徑為10cm的豎直排水管；不論雨量如何，這種燕槽都能及時(shí)排掉從屋頂流下的雨水。問(wèn)：該居民能否接納這家公司提供的服務(wù)？圖1屋檐水槽連接示意圖2．模型假設(shè)(1)降雨分布均勻并以垂直降落，并且直接落在房頂上；(2)所有落在房頂上的雨水迅速流入水槽中；(3)雨水不從水槽中濺出

2、；(4)排水管道順暢，沒(méi)有任何障礙或阻塞；(5)假設(shè)雨開始下時(shí)槽內(nèi)有雨水深度0．O1m。?符號(hào)說(shuō)明：有關(guān)的因素因素類型符號(hào)數(shù)值單位降水強(qiáng)度變量vm/s時(shí)間變量ts房頂?shù)膬A斜度參數(shù)弧度房頂?shù)拈L(zhǎng)度參數(shù)a12m房頂?shù)膶挾葏?shù)b6m水槽的半徑參數(shù)r0.075m水槽中的水深參數(shù)hm水槽中的水的容量變量Vm流入水槽的流速變量流出水槽的流速變量排水管直徑參數(shù)d0.1重力加速度常數(shù)g9.8m/s雨水流圖2屋頂雨水流動(dòng)示意圖3．建立模型h水圖3水槽截面示意圖考察水槽能否及時(shí)排掉從屋頂流下的雨水，就是研究水槽中的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。水槽中的水的容量的變化率=雨水流入水槽

3、的流速-流出水槽的流速，即,其中，分別為單位時(shí)間排水系統(tǒng)的流入水槽和流出水槽的雨水流量。房頂?shù)拿娣e是ab，由于房頂是傾斜的，如圖2所示，屋頂實(shí)際受雨的面積是，根據(jù)假設(shè)（1），屋頂上雨水的流速是，由于雨水是沿傾斜的房頂流下的，所以流入水槽的流速應(yīng)該是在豎直方向的分量，直接落入水槽的雨形成的雨的流量是,即。水槽中水的深度h

4、.075m的穩(wěn)定值，即時(shí)。將代入上述模型，得到h(t)=899209.148v^2當(dāng)h(t)<=0.075時(shí)，解得v<=0.00028802由此得到，當(dāng)v<=0.00028802m/s時(shí)，水不溢出；當(dāng)v>0.00028802m/s時(shí)，水溢出。下面，用matlab對(duì)這一結(jié)論進(jìn)一步分析。不妨取v=0.0002、0.000288分別代入方程（*）求其數(shù)值解，并作出圖形：編寫a.m文件：functionhp=a(t,h1)hp=(1.374038*0.0002-0.001449*sqrt(h1))/sqrt(0.15*h1-h1^2);functionhp=b

5、(t,h2)hp=(1.374038*0.0003-0.001449*sqrt(h2))/sqrt(0.15*h2-h2^2);執(zhí)行matlab程序：>>[t,h1]=ode45('a',[0,60],0.01);>>plot(t,h1)>>[t,h2]=ode45('b',[0,60],0.01);plot(t,h2)我國(guó)氣象部門規(guī)定24h降水量在200mm以上（約0.000002m/s）的雨為特大暴雨。對(duì)于這種情形，v>0.00028802m/s即24h降水量在24884.9mm以上的強(qiáng)降雨機(jī)率幾乎為0，因此，這個(gè)公司的承諾是能兌現(xiàn)的。（2）若為周

6、期函數(shù)，不妨設(shè)為正弦函數(shù)，即：這表明下雨過(guò)程是在60s內(nèi)發(fā)生的一個(gè)短促的強(qiáng)陣雨過(guò)程，最大的降雨強(qiáng)度是0.00001m/s,由方程（*）得到如下微分方程：運(yùn)用matlab求數(shù)值解：編寫shuicao.m文件：functionf=shuicao(t,h)f=(0.000412*sin(pi*t/60)-0.001449*sqrt(h))/sqrt(0.15*h-h^2);執(zhí)行matlab程序：>>[t,h]=ode45('shuicao',[0,60],0.01);>>plot(t,h)從圖中可以看出，h(t)的最大值不會(huì)超過(guò)0.075m，因此，對(duì)于第（2

7、）種情況，水槽的水也不會(huì)溢出，這個(gè)公司的承諾是能兌現(xiàn)的。5．模型的改進(jìn)基于長(zhǎng)時(shí)間特大暴雨的考慮，可做如下兩種改進(jìn)：(1)增大排水管的橫截面積，即增大排水管的直徑d。(2)改變水槽的連接方式，讓水槽往屋檐傾斜一定角度，這相當(dāng)于增加水槽的容水高度。