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1、2021/8/41第七章MATLAB解方程與函數(shù)極值2021/8/42線性方程組求解非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問題的數(shù)值解法函數(shù)極值2021/8/437.1.1直接解法1.利用左除運算符的直接解法對于線性方程組Ax=b，可以利用左除運算符“”求解：x=Ab例7-1用直接解法求解下列線性方程組。7.1線性方程組求解2021/8/442.利用矩陣的分解求解線性方程組矩陣分解是指根據一定的原理用某種算法將一個矩陣分解成若干個矩陣的乘積。常見的矩陣分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、He
2、ssenberg分解、奇異分解等。2021/8/45矩陣的LU分解就是將一個矩陣表示為一個交換下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積形式。線性代數(shù)中已經證明，只要方陣A是非奇異的，LU分解總是可以進行的。MATLAB提供的lu函數(shù)用于對矩陣進行LU分解，其調用格式為：[L,U]=lu(X)：產生一個上三角陣U和一個變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意，這里的矩陣X必須是方陣。[L,U,P]=lu(X)：產生一個上三角陣U和一個下三角陣L以及一個置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當然矩陣X同樣必須是方陣。實現(xiàn)LU
3、分解后，線性方程組Ax=b的解x=U(Lb)或x=U(LPb)，這樣可以大大提高運算速度。例7-2用LU分解求解例7-1中的線性方程組。（1）LU分解2021/8/46(2)QR分解對矩陣X進行QR分解，就是把X分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積形式。QR分解只能對方陣進行。MATLAB的函數(shù)qr可用于對矩陣進行QR分解，其調用格式為：[Q,R]=qr(X)：產生一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R，使之滿足X=QR。[Q,R,E]=qr(X)：產生一個正交矩陣Q、一個上三角矩陣R以及一個置換矩陣E，使之滿
4、足XE=QR。實現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b的解x=R(Qb)或x=E(R(Qb))。例7-3用QR分解求解例7-1中的線性方程組。2021/8/47(3)Cholesky分解如果矩陣X是對稱正定的，則Cholesky分解將矩陣X分解成一個下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設上三角矩陣為R，則下三角矩陣為其轉置，即X=R'R。MATLAB函數(shù)chol(X)用于對矩陣X進行Cholesky分解，其調用格式為：R=chol(X)：產生一個上三角陣R，使R'R=X。若X為非對稱正定，則輸出一個出錯信息。[R,p]=ch
5、ol(X)：這個命令格式將不輸出出錯信息。當X為對稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的結果相同；否則p為一個正整數(shù)。如果X為滿秩矩陣，則R為一個階數(shù)為q=p-1的上三角陣，且滿足R'R=X(1:q,1:q)。實現(xiàn)Cholesky分解后，線性方程組Ax=b變成R‘Rx=b，所以x=R(R’b)。2021/8/48例7-4用Cholesky分解求解例7-1中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';R=chol(A)???Er
6、rorusing==>cholMatrixmustbepositivedefinite命令執(zhí)行時，出現(xiàn)錯誤信息，說明A為非正定矩陣。2021/8/49迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組。在數(shù)值分析中，迭代解法主要包括Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和兩步迭代法。1.Jacobi迭代法對于線性方程組Ax=b，如果A為非奇異方陣，即aii≠0(i=1,2,…,n)，則可將A分解為A=D-L-U，其中D為對角陣，其元素為A的對角元素，L與U為A的下三角陣和上三角陣，于是Ax=b化為：x=D
7、-1(L+U)x+D-1b與之對應的迭代公式為：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b這就是Jacobi迭代公式。如果序列{x(k+1)}收斂于x，則x必是方程Ax=b的解。7.1.2迭代解法2021/8/410例7-5用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。設迭代初值為0，迭代精度為10-6。Jacobi迭代法的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m2021/8/4112.Gauss-Serdel迭代法在Jacobi迭代過程中，計算時，已經得到，不必再用，即原來的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可
8、以改進為Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b該式即為Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替舊分量，精度會高些。2021/8/412Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函數(shù)文
