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1、蘊秀齋2014年第55屆IMO解答1、aaa???...是一個無窮正整數(shù)數(shù)列，證明：存在唯一的正整數(shù)n，使得012aa???...a01naa??。nn?1nnn?1aa???...a01n證明：aann????10?(1n?)an??ai?a?nan1??ai，對于任意正整nii??11n?1aa???...a01n數(shù)n，定義bnaann???(1)?i，則aann???10?bn?a?bn?1。i?1n由于ba??0，bbn???aa???0，因此數(shù)列?b?是嚴格遞增的非負整數(shù)10nn??11nnn數(shù)列，所以存在唯一的正整數(shù)n，滿足bab??。nn01?綜上所述，結(jié)論成立。(此題
2、全場平均5.348分，滿分370/544人，中國隊此題滿分)上善若水蘊秀齋2、n是大于1的整數(shù)，有一個nn?的棋盤。求最大的正整數(shù)k，使得在棋盤上任意放置n個不同行也不同列的車，都可以找到一個kk?的正方形，其中沒有車。22解：存在唯一的正整數(shù)m，使得mnm???(1)。我們來證明：km?????n1。??㈠先來證明：km?。2nm??1時，由于四個角不能都有車，因此可以假設(shè)右下角沒有車，此時最底下一行222和最右邊一列都各有一個車，將棋盤左上角的mm?的棋盤分為m個mm?的棋盤，由2于除了最底下一行和最右邊一列之外還有m?1個車，因此必有一個mm?的棋盤沒有車，因此km?。22若n
3、mrrm????,12時結(jié)論成立，我們來考慮nmr???1的情況，不失一般性可以假設(shè)右下角沒有車，假設(shè)最右邊一列的第x行和最底下一行的第y列都各有一個車，則我們可以去掉最底下一行和最右邊一列，然后在第x行第y列放一個車，則得到222??mrmr?????的棋盤，放了?mr??個不同行也不同列的車，由歸納假設(shè)可以從中找出一個mm?的棋盤沒有車，這個mm?的棋盤在原棋盤也沒有車，因此km?。㈡我們來證明：km?。222對于(1mm???)(1)的棋盤，從上到下將每行編號為0,1,...,(m?1)?1，從左到右2將每列編號為0,1,...,(m??1)1，并將行數(shù)、列數(shù)都用m?1進制表示
4、為ij,0??ij,m。在所有??ijji,位置各放一個車，則每行、每列都恰好一個車。任取一個(1mm???)(1)的小棋盤，我們來證明其中至少有一個車。設(shè)其左上角為??uvst,，則小棋盤行數(shù)的首位只能是uu,1?，末位為0,1,...,m的一個排列；列數(shù)首位只能是ss,1?，末位為0,1,...,m的一個排列。不妨設(shè)小棋盤中沒有車。①假設(shè)其中有第us行，則不能有su列，因此只能有(1su?)列，故sm??1，并且不能有us(1?)行，只能有(1us??)(1)行，(1usu?)(1???)sm，矛盾。②假設(shè)其中有第(1us?)行，則不能有su(1?)列，因此只能有(1su??)(
5、1)列，故sm??1，并且不能有(1us??)(1)行，因此只能有us(1?)行，所以不能有(1su?)列，故只能有su列，而(1sus????)(1)um，矛盾。2假設(shè)對于nmrrm?????,121時，有一種放法使得任意一個(1mm???)(1)小棋上善若水蘊秀齋盤都至少有一個車。則對此放法去掉最底下一行和最右邊一列，假設(shè)最右邊一列的第x行和2最底下一行的第y列都各有一個車，如果x?ymr??（也即右下角有車），則此時的棋2盤滿足要求；如果x,ymr??（也即右下角無車），則在第x行第y列放一個車，由于左22上角??mr???11?mr???的棋盤沒變化或者加了車，因此其中任意一
6、個(1mm???)(1)小棋盤都至少有一個車。所以km??1。綜上所述，kn???1?。??(此題全場平均2.971分，滿分122人，中國隊此題滿分)上善若水蘊秀齋3、凸四邊形ABCD滿足??ABC???CDA90，A在BD上的投影為H。ST,分別在ABAD,上，使得H在?SCT的內(nèi)部。已知?CHS??CSB?90?，?THC??DTC?90?，求證：BD與?TSH的外接圓相切。JKc1Cc2HDBSTAMN證明：延長CB到M，延長CD到N，使得B,D分別是CMCN,的中點，因此S在CM的中垂線上，因此?SMC??SCM?90???CSB?180???CHS，因此CHSM,,,共圓，
7、記此圓為c，同理CHTN,,,共圓，記此圓為c。由于A是?CMN的外心，因此12HMH?N。設(shè)HTCN,交于J，設(shè)HSCM,交于K，由于S是M?HC的中點，因此HK是?CHMCJHCHCCK的外角平分線，同理HJ是?CHN的外角平分線，因此???，因此NJHNHMMKJKMN??BD。由于??NHT?JHC，?NTH??JCH，所以?NHT??JHC，因此HTHJHCHN???，同理可得HSHKHCHM???，所以HTHJHSHK???，因此JKTS,,,
