希爾伯特變換的定義和性質(zhì)

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1、1希爾伯特變換的定義1)卷積積分設(shè)實(shí)值函數(shù),其中，它的希爾伯特變換為，(1)常記為(2)由于是函數(shù)與的卷積積分，故可寫(xiě)成=*(3)2)相位設(shè)，根據(jù)(3)式和傅里葉變換性質(zhì)可知，是的傅里葉變換和的傅里葉變換的乘積。由(4)得可表達(dá)為或者所以是一個(gè)相移系統(tǒng)，即希爾伯特變換等效于的相移，對(duì)正頻率產(chǎn)生的相移，對(duì)負(fù)頻率產(chǎn)生相移，或者說(shuō)，在時(shí)域信號(hào)中每一頻率成分移位波長(zhǎng)。因此，希爾伯特變換又稱(chēng)為90度移相器。3)解析信號(hào)的虛部為進(jìn)一步理解希爾伯特變換的意義，引入解析函數(shù):(5)也可以寫(xiě)成(6)其中，稱(chēng)為希爾伯特變換的包絡(luò)

2、；稱(chēng)為瞬時(shí)響應(yīng)信號(hào)。希爾伯特變換包絡(luò)定義為(7)相位定義為(8)瞬時(shí)頻率定義為(9)根據(jù)傅里葉變換式(10)為計(jì)算，由知(11)其中因此，可以簡(jiǎn)單地從得到，而的虛部即。2.希爾伯特變換的性質(zhì)1)線(xiàn)性性質(zhì)若a,b為任意常數(shù)，且，，則有(12)2)移位性質(zhì)(13)3)希爾伯特變換的希爾伯特變換(14)此性質(zhì)表明，兩重希爾伯特變換的結(jié)果僅使原函數(shù)加一負(fù)號(hào)，由此可以進(jìn)一步得到(15)4)逆希爾伯特變換(16)為與的卷積，可表示為(17)其中，。5)奇偶特性如果原函數(shù)是的偶（奇），則其希爾伯特變換就是的奇（偶）函數(shù)，即

3、(18)6)能量守恒根據(jù)帕塞瓦爾定理可知和因而有(19)7)正交性質(zhì)(20)8)調(diào)制性質(zhì)對(duì)任意函數(shù)，其傅里葉變換是帶限的，即則有(21)9)卷積性質(zhì)(22)另外，希爾伯特變換具有周期性和同域性，即希爾伯特變換不改變?cè)瘮?shù)的周期性，也不改變域表示，而不像傅里葉變換那樣，把時(shí)間函數(shù)（信號(hào)）從時(shí)域表示換成頻域表示。