隨機微分方程及其應(yīng)用

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1、111隨機微分方程及其應(yīng)用1隨機微分方程的重要性近年來，隨機微分方程，隨機分析有了迅速發(fā)展，隨機微分方程的理論廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟、生物、物理、自動化等領(lǐng)域。在經(jīng)濟領(lǐng)域，用隨機微分方程來解決期權(quán)定價的問題，在產(chǎn)品的銷售，市場的價格等隨機事件中，可根據(jù)大量的試驗數(shù)據(jù)確定某個隨機變量，并附加初始條件建立隨機微分方程的數(shù)學(xué)模型，從而推斷出總體的發(fā)展變化規(guī)律。在生物領(lǐng)域，用于揭示疾病的發(fā)生規(guī)律以及疾病的傳播流行過程，腫瘤演化機制等。在物理領(lǐng)域，用于布朗粒子的逃逸與躍遷問題，反常擴散。33隨機微分方程——定義設(shè)X為n維的隨機變量,W為m維的維納運動，b和B是給定

2、的函數(shù)，并不是隨機變量，，1、隨機微分方程的定義：那么隨機微分方程可以表示成如下形式：若X滿足等式：那么X就是此隨機微分方程的解。如果系數(shù)b和B分別滿足：b(x,t)=c(t)+D(t)x，B(x,t)=E(t)+F(t)x,那么就稱此方程為線性隨機微分方程。如果c(t)=E(t)=0，那么線性隨機微分方程是齊次的。如果F(t)=0，這稱隨機微分方程狹義上是線性。3444隨機微分方程——解的形式2、線性隨機微分方程的解的形式以上我們定義的是基于n維隨機變量和m維布朗運動的隨機微分方程，實際應(yīng)用中大多數(shù)為一維的情況，以下給出一維中隨機微分方程的解的

3、具體形式當(dāng)m=n=1時，線性隨機微分方程的一般形式如下：解為：其中4隨機微分方程舉例2、線性隨機微分方程舉例例1、股票價格設(shè)P(t)表示在t時刻股票的價格，通過股票價格的變化率可以建立P(t)的隨機微分方程：其中υ和σ為常數(shù)，υ>0表示股票趨勢項，σ表示股票波動項，則微分方程轉(zhuǎn)化為下面的形式：根據(jù)伊藤公式可知：隨機微分方程舉例可以解出P(t)：由此可知，若初始價格為正直，則股票價格總是正的。由隨機微分方程可知：并且，則可知：可以解出：因此股票價格的期望值由股票的趨勢項決定，與股票的波動沒有關(guān)系。7隨機微分方程舉例例2：朗之萬方程存在摩擦力的情況下

4、，布朗粒子的運動模型服從一維的隨機微分方程，，其中ξ表示白噪聲，b>0表示摩擦系數(shù)，σ表示擴散系數(shù)。在此方程中，X代表布朗粒子的運動速率。X0與維納過程相互獨立，因為白噪聲是維納過程對時間的導(dǎo)數(shù)，所以此方程等價于下面的隨機微分方程：根據(jù)線性隨機微分方程解的形式可以求得此微分方程的解為：8隨機微分方程舉例可以求出X的期望：則X的方差為：則當(dāng)t趨于無窮大時：從解的形式來看，當(dāng)t趨于無窮大時，X的漸近分布為正態(tài)分布，與初始分布無關(guān)。9隨機微分方程舉例例3：烏倫貝克過程布朗運動的另一隨機微分方程模型：其中Y(t)是t時刻布朗粒子的位移，Y0與Y1是給定的

5、高斯隨機變量，b>0是摩擦系數(shù)，σ是擴散系數(shù)，ξ通常為白噪聲。若，即X表示速率，則原方程等價于以下朗之萬方程：則方程的解為：10隨機微分方程舉例則可以解出原微分方程的解Y(t)：例4：隨機諧波振子其中表示線性的保守勢場力，表示摩擦阻尼力，ξ表示白噪聲，可以通過一般的公式來求解此隨機微分方程。當(dāng)X1=0，b=0，σ=1時，隨機微分方程的解為：1111逃逸問題隨機諧波振子的微分方程進行推廣可以的得到如下方程：阻尼力，b是摩擦系數(shù)保守勢場力，V(x)即為勢函數(shù)，在隨機諧波振子微分方程中為線性的，當(dāng)勢函數(shù)為非線性的時，就會存在逃逸的問題。隨機力或噪聲項，

6、通常為高斯白噪聲1.摩擦系數(shù)b可以是線性的，也可以是非線性的。2.此方程中X的導(dǎo)數(shù)為一階，然而X的導(dǎo)數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，即分?jǐn)?shù)階摩擦11121212逃逸問題逃逸問題是研究系統(tǒng)在隨機力作用下從穩(wěn)態(tài)出發(fā)的演化過程，盡管隨機力很小，但是足以引起布朗粒子的逃逸，從而使原來的穩(wěn)態(tài)發(fā)生質(zhì)的改變，我們基于以上的隨機微分方程來研究布朗粒子的逃逸問題。若勢函數(shù)V(x)是非線性的，且是單勢阱，結(jié)構(gòu)如下圖：12131313逃逸問題從勢函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖中可以看出該勢阱的高度為，勢能最小值的位置坐標(biāo)為xs，也是V(x)的穩(wěn)定點，最大值的位置坐標(biāo)為xu，也是V(x)的不穩(wěn)定點

7、。當(dāng)時，，因此系統(tǒng)在負(fù)x方向是被束縛的，xxu,系統(tǒng)會自動趨于無窮，所以x>xu叫做逃逸區(qū)。研究系統(tǒng)從束縛區(qū)進入逃逸區(qū)的問題，就叫“逃逸問題”。13當(dāng)勢阱函數(shù)V(x)為雙穩(wěn)勢阱時，在隨機力的作用下，兩個勢阱中的運動不再相互獨立，初始在某一勢阱內(nèi)的系統(tǒng)，會在不同時間以不同的概率進入另一勢阱。逃逸問題也就轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)在隨機力的作用下兩個穩(wěn)態(tài)之間的躍遷問題。141414逃逸問題如圖所示：它在x的正負(fù)無窮上都是受束縛的，勢函數(shù)有兩個極小值（穩(wěn)定解）和一個極大值（不穩(wěn)定解）。如果不存在隨機力的作用，初

8、態(tài)處于的勢阱內(nèi)的粒子將逗留在原勢阱內(nèi)，它們將各自趨于初態(tài)所處勢阱的極小值，即到達系統(tǒng)的穩(wěn)定解。而一旦到達了此穩(wěn)態(tài)，粒子將永遠不再偏離。但