常系數(shù)齊次線性微分方程(I)

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1、1二階常系數(shù)齊次線性方程定義二階常系數(shù)齊次線性方程解法小結(jié)思考題作業(yè)n階常系數(shù)齊次線性方程解法5.7常系數(shù)齊次線性微分方程齊次常系數(shù)常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次第5章微分方程2方程二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性一、定義3-----特征方程法將其代入方程,故有特征根二階設(shè)解得特征方程常系數(shù)齊次線性方程(characteristicequation)(characteristicroot)二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法其中r為待定常數(shù).4※兩個特解的通解的不同形式.有兩個不相等的實根特征根r的不同情況決定了方程特征方程常數(shù)線性無關(guān)的得齊次方程的通解為設(shè)解其中r為待

2、定常數(shù).5※有兩個相等的實根一特解為化簡得設(shè)取則知得齊次方程的通解為其中r為待定常數(shù).設(shè)解其中u(x)為待定函數(shù).6※有一對共軛復(fù)根為了得到實數(shù)形式的解,重新組合的兩個線性無關(guān)的解.其中r為待定常數(shù).用歐拉(Euler)公式:設(shè)解常數(shù)得齊次方程的通解為7稱為解特征方程故所求通解為例由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法特征方程法.特征根8解特征方程故所求通解為例特征根得齊次方程的通解為9例解初值問題解特征方程特征根所以方程的通解為(二重根)特解10考研數(shù)學(xué)(二)選擇,4分函數(shù)練習(xí)滿足的一個微分方程是定理5.3與(2)對應(yīng)的齊次方程(2)的通解.的通解,是二階非齊

3、次線性微分方程11考研數(shù)學(xué)(一)填空,3分練習(xí)(C1,C2為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解,則微分方程為解由所給通解的表達(dá)式知,是所求由微分方程的特征方程的根,于是特征方程為故所求微分方程為12特征方程特征方程的根通解中的對應(yīng)項三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法若是k重根r若是k重共軛復(fù)根n階線性微分方程常系數(shù)形如13注意一個根都對應(yīng)著通解中的一項,n次代數(shù)方程有n個根,而特征方程的每且每一項各一個任意常數(shù).14例求方程解的通解.特征方程故所求通解為特征根即和15特征根故所求通解解特征方程例對應(yīng)的特解(單根)(二重)共軛復(fù)根16(1)寫出相應(yīng)的特征方程(2)求出

4、特征根四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性方程特征根的情況通解的表達(dá)式實根實根復(fù)根求通解的步驟:(3)根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解17思考題求微分方程的通解.18思考題解答令則特征根求微分方程的通解.特征方程?二階常系數(shù)齊次線性方程通解此方程屬于設(shè)所以所以因為所以所以19作業(yè)習(xí)題5.7(186頁）