冪級數(shù)laurent級數(shù)Fourier級數(shù)

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1、第3節(jié)解析函數(shù)的孤立奇點與留數(shù)留數(shù)是區(qū)別解析點與孤立奇點的重要標志；留數(shù)揭示了孤立奇點與圍道積分的內在聯(lián)系。一.孤立奇點及其分類定義1若在不解析，但在的某一去心鄰域內解析，則稱是的孤立奇點。（1）為的可去奇點：若中無負冪項根據(jù)Laurent級數(shù)的形式分類：設為的孤立奇點,在的去心鄰域內，的Laurent展式為:孤立奇點可按以下兩種方式分類：（3）為的本性奇點：若中負冪項有無窮多項（2）為的(m級)極點：若中負冪項只有有限項(m項)定義2根據(jù)的極限分類：性質1性質2例1求下列函數(shù)的奇點，并指出其類型：解解解解

2、以上討論了當為有限奇點時，孤立奇點的分類?，F(xiàn)討論若在無窮遠點的去心鄰域內解析（這時Laurent展式為:Laurent展式為:例如關于無窮遠點的孤立奇點的分類可以轉化為原點情況或者利用已知函數(shù)的展開式來判定，當然這個展開式必須是無窮遠點去心鄰域內的Laurent展式。二.留數(shù)設為的孤立奇點,在的去心鄰域內，的Laurent展式為:無窮遠點處的留數(shù)留數(shù)計算法：證明2.從證明過程不難看出，即使極點的級數(shù)小于m,也可當作級數(shù)為m來計算。這是因為表達式這不影響證明結果。的系數(shù)中可能有一個或幾個為零而已，例2求下列函

3、數(shù)的奇點并計算留數(shù)：解法1法2法3解解法1所以，0為的三級極點，且法2因為0是分子的一級零點，是分母的四級零點，所以0是的三級極點，取m=4,由公式2得三.留數(shù)定理定理1設函數(shù)在區(qū)域D內除有限個孤立奇點外處處解析，L是D內包圍諸奇點的一條逆時針方向簡單閉曲線，那么由復合閉路定理,得利用這個定理，可將求沿封閉曲線L的積分，轉化為求被積函數(shù)在L中的各孤立奇點處的留數(shù)。定理2如果函數(shù)在擴充的復平面內除有限個點）的留數(shù)的總和必等于零,即孤立奇點外解析，那么在所有各奇點（包括例3計算下列積分：由留數(shù)定理1，得由留數(shù)定

4、理1，2，得四.利用留數(shù)計算某些實積分例4例5例6例7