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《數(shù)值分析》第五講：常微分方程數(shù)值解》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、常微分方程數(shù)值解理學(xué)院陳麗娟《數(shù)值分析》第五講第五章：常微分方程數(shù)值解§5.1引言1、常微分方程與解為n階常微分方程。如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)n階可導(dǎo)，稱方程滿足方程的函數(shù)稱為微分方程的解。則如為任意常數(shù)）一般稱為方程的通解。為方程的解。如果則有為方程滿足定解條件的解。第五章：常微分方程數(shù)值解方程的通解滿足定解條件的解微分關(guān)系（方程）解的圖示第五章：常微分方程數(shù)值解本教材重點討論定解問題(初值問題）定解條件（初始條件）是否能夠找到定解問題的解取決于僅有極少數(shù)的方程可以通過“常數(shù)變易法”、“可分離變量法”等特殊方法求得初等函數(shù)形式的解，絕大部分方程
2、至今無法理論求解。如等等2、數(shù)值解的思想第五章：常微分方程數(shù)值解（1）將連續(xù)變量離散為（2）用代數(shù)的方法求出解函數(shù)在點的近似值*數(shù)學(xué)界關(guān)注工程師關(guān)注如果找不到解函數(shù)數(shù)學(xué)界還關(guān)注：解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振動性解的周期性解的穩(wěn)定性解的混沌性……§5.2Euler方法第五章：常微分方程數(shù)值解第一步：連續(xù)變量離散化第二步：用直線步進(jìn)·····Euler格式1、Euler格式18世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，13歲時入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得碩士學(xué)位。1727年-1741年（20歲-34歲）在彼得堡科學(xué)院從事研究工作，在分析學(xué)、數(shù)論、力
3、學(xué)方面均有出色成就，并應(yīng)俄國政府要求，解決了不少地圖學(xué)、造船業(yè)等實際問題。24歲晉升物理學(xué)教授。1735年（28歲）右眼失明。第五章：常微分方程數(shù)值解1741年-1766（34歲-59歲）任德國科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長，任職25年。在行星運動、剛體運動、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)、微分方程、曲面微分幾何等研究領(lǐng)域均有開創(chuàng)性的工作。1766年應(yīng)沙皇禮聘重回彼得堡，在1771年（64歲）左眼失明。Euler是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均以每年800頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。他去世后，人們用35年整理出他的研究成果74卷。第五章：常微分方程數(shù)值解例P106第五章：
4、常微分方程數(shù)值解初值問題Bernoulli方程由Bernoulli方程的求解方法可得解析解Euler格式為令將代入Euler格式步進(jìn)計算結(jié)果見P106表5.1第五章：常微分方程數(shù)值解Euler值Euler格式的誤差分析事實上Euler格式的每一步都存在誤差，為了方便討論算法的好壞，假定第n步準(zhǔn)確的前提下分析第n+1步的誤差，稱為局部截斷誤差。第五章：常微分方程數(shù)值解即討論由Taylor公式第五章：常微分方程數(shù)值解Euler格式的誤差為2、后退Euler格式令得令Euler格式第五章：常微分方程數(shù)值解后退Euler格式令得隱式格式令后退Euler格式
5、的值Euler格式的值3、梯形格式4、改進(jìn)的Euler格式預(yù)測校正第五章：常微分方程數(shù)值解隱式格式為方便計算，一般用以下改進(jìn)格式計算用改進(jìn)格式計算例5.1的結(jié)果見P110表5.2第五章：常微分方程數(shù)值解5、兩步Euler格式第五章：常微分方程數(shù)值解一般，如果稱計算格式具有階精度。已知Euler格式即Euler格式具有一階精度如果令并假定第五章：常微分方程數(shù)值解則有記則將在點Taylor展開的計算格式其中假設(shè)第五章：常微分方程數(shù)值解特別要注意的是：一般兩點預(yù)測格式具有二階精度。當(dāng)時所以第五章：常微分方程數(shù)值解考察兩點校正格式的精度為便于處理，通常假定
6、否則見P108一般情況下則又，并記第五章：常微分方程數(shù)值解比較得即梯形格式具有二階精度，因此兩步格式從預(yù)測到校正均達(dá)到二階精度。因此得具有二階精度的兩步Euler格式預(yù)測校正第五章：常微分方程數(shù)值解§5.3Lunge-Kutta方法1、二階Lunge-Kutta方法（P113-P115)第五章：常微分方程數(shù)值解依據(jù)精度要求的待定系數(shù)法令確定使具有二階精度平均斜率在點的斜率在點的斜率用Euler格式預(yù)測第五章：常微分方程數(shù)值解對照第五章：常微分方程數(shù)值解可解得得改進(jìn)的Euler格式3、三階Lunge-Kutta方法第五章：常微分方程數(shù)值解補充確定參數(shù)
7、使具有二階精度第五章：常微分方程數(shù)值解使具有三階精度即分別將在點Taylor展開，代入（P116)與的Taylor展開比較第五章：常微分方程數(shù)值解得可解得第五章：常微分方程數(shù)值解得一個三階精度的Runge-Kutta格式4、四階Lunge-Kutta方法見P117§5.4幾種方法的數(shù)值計算例5.1P106改進(jìn)的Euler格式Euler格式第五章：常微分方程數(shù)值解四階經(jīng)典Lunge-Kutta方法例5.1P106第五章：常微分方程數(shù)值解x精確值Euler方法改進(jìn)Euler方法四階Lunge-KuttaEuler方法誤差改進(jìn)Euler誤差四階Lunge
8、-Kutta誤差01.00000001.00000001.00000001.00000000.00000000.00000
