37 化歸思想

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1、難點37化歸思想化歸與轉(zhuǎn)換的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題的思想.等價轉(zhuǎn)化總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)化為已知，通過變換迅速而合理的尋找和選擇問題解決的途徑和方法.●案例探究［例1］對任意函數(shù)f(x),x∈D，可按圖示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：①輸入數(shù)據(jù)x0∈D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x1=f(x0)；②若x1D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x1∈D，則將x1反饋回輸入端，再輸出x2=f(x1)，并依此規(guī)律繼

2、續(xù)下去.現(xiàn)定義（1）若輸入x0=，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{xn}，請寫出{xn}的所有項；（2）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x0的值；（3）若輸入x0時，產(chǎn)生的無窮數(shù)列{xn}，滿足對任意正整數(shù)n均有xn＜xn+1；求x0的取值范圍.知識依托：函數(shù)求值的簡單運算、方程思想的應(yīng)用.解不等式及化歸轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵就是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將題意條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.錯解分析：考生易出現(xiàn)以下幾種錯因：（1）審題后不能理解題意.（2）題意轉(zhuǎn)化不出數(shù)學(xué)關(guān)系式，如第2問.（3）第3問不能進行從一般到特殊的轉(zhuǎn)

3、化.技巧與方法：此題屬于富有新意，綜合性、抽象性較強的題目.由于陌生不易理解并將文意轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.這就要求我們慎讀題意，把握主脈，體會數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換.解：（1）∵f(x)的定義域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴數(shù)列{xn}只有三項，（2）∵,即x2–3x+2=0∴x=1或x=2，即x0=1或2時故當(dāng)x0=1時，xn=1，當(dāng)x0=2時，xn=2（n∈N*）（3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2要使x1＜x2，則x2＜–1或1＜x1＜2對于函數(shù)若x1＜–1，則x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2若1＜x1＜2時，x

4、2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2依次類推可得數(shù)列{xn}的所有項均滿足xn+1＞xn（n∈N*)綜上所述，x1∈(1,2)由x1=f(x0),得x0∈(1,2).［例2］設(shè)橢圓C1的方程為(a＞b＞0)，曲線C2的方程為y=，且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P.（1）試用a表示點P的坐標(biāo)；（2）設(shè)A、B是橢圓C1的兩個焦點，當(dāng)a變化時，求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域；（3）記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個.設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數(shù)

5、f(a)=min{g(a),S(a)}的表達式.知識依托：兩曲線交點個數(shù)的轉(zhuǎn)化及充要條件，求函數(shù)值域、解不等式.錯解分析：第（1）問中將交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程組解的個數(shù)，考查易出現(xiàn)計算錯誤，不能借助Δ找到a、b的關(guān)系.第（2）問中考生易忽略a＞b＞0這一隱性條件.第（3）問中考生往往想不起將min{g(a),S(a)}轉(zhuǎn)化為解不等式g(a)≥S(a).技巧與方法：將難以下手的題目轉(zhuǎn)化為自己熟練掌握的基本問題，是應(yīng)用化歸思想的靈魂.要求必須將各知識的內(nèi)涵及關(guān)聯(lián)做到轉(zhuǎn)化有目標(biāo)、轉(zhuǎn)化有橋梁、轉(zhuǎn)化有效果.解：（1）將y=代入橢圓方

6、程，得化簡，得b2x4–a2b2x2+a2=0由條件，有Δ=a4b4–4a2b2=0，得ab=2解得x=或x=–（舍去）故P的坐標(biāo)為().(2)∵在△ABP中，｜AB｜=2，高為,∴∵a＞b＞0,b=∴a＞,即a＞,得0＜＜1于是0＜S（a）＜，故△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域為(0,)(3)g(a)=c2=a2–b2=a2–解不等式g(a)≥S(a)，即a2–≥整理，得a8–10a4+24≥0，即(a4–4)(a4–6)≥0解得a≤（舍去）或a≥.故f(a)=min{g(a),S(a)}●錦囊妙計轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與

7、不等價轉(zhuǎn)化.等價轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實質(zhì)是一樣的.不等價轉(zhuǎn)化則部分地改變了原對象的實質(zhì)，需對所得結(jié)論進行必要的修正.應(yīng)用轉(zhuǎn)化化歸思想解題的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡量是等價轉(zhuǎn)化.常見的轉(zhuǎn)化有：正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化、空間與平面相互轉(zhuǎn)化、復(fù)數(shù)與實數(shù)相互轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化.