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《泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)(上》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、微積分電子教案安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics1959§11.4泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)四、泰勒級(jí)數(shù)五、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1.定義一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)是定義在上的函數(shù),則稱為定義在區(qū)間上的(函數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù).對(duì)于每一個(gè)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2.收斂點(diǎn)與收斂域例如：是公比為x的等比級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念如果，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則稱為級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，否則稱為發(fā)散點(diǎn).函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域，所
2、有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域.當(dāng)時(shí)，收斂；收斂域：當(dāng)時(shí)，發(fā)散；發(fā)散域：余項(xiàng)3.和函數(shù)若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和例如：在收斂域：其和函數(shù)為：注意：級(jí)數(shù)的收斂域未必等于和函數(shù)的定義域一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是的函數(shù)，稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)。二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性2.1、定義⑴(x-x0)的冪級(jí)數(shù):⑵x的冪級(jí)數(shù):其中為冪級(jí)數(shù)系數(shù).稱為x?1的冪級(jí)數(shù)由于收斂域與發(fā)散域互補(bǔ),下面只研究收斂域.二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性2.2、冪級(jí)數(shù)的斂散性特點(diǎn)定理2此時(shí)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間有以下四種可能：如果冪級(jí)數(shù)不是僅在一點(diǎn)收
3、斂,也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)存在,它具有下列性質(zhì):當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?要求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，關(guān)鍵求實(shí)數(shù)R2.3、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性定理3如果冪級(jí)數(shù)的所有系數(shù),設(shè)（或）（1）則當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，。解：所以收斂半徑R=3例1.求的收斂半徑根據(jù)系數(shù)的表達(dá)式，也可以二、冪
4、級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間:解該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性是發(fā)散的是收斂的故收斂區(qū)間為(0,1].,)1,0(級(jí)數(shù)收斂?x二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性定理3如果冪級(jí)數(shù)的所有系數(shù),設(shè)（或）（1）則當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，。注意：如果冪級(jí)數(shù)中奇次項(xiàng)或偶次項(xiàng)系數(shù)為零，則不能利用該定理確定收斂半徑。解：缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性例3求冪級(jí)數(shù)的收斂域.級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槎?、冪?jí)數(shù)及其收斂性為什么？解：
5、二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性例4練習(xí)：收斂區(qū)間為[-2,2],(-2,2),(-2,2],[-2,2)注意:求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間,通常先求級(jí)數(shù)的收斂半徑得到級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的一個(gè)開(kāi)區(qū)間；求收斂半徑的方法：比(根)值法、系數(shù)法(局限性)然后判斷級(jí)數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的斂散性(數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))最后得到收斂區(qū)間二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性解:級(jí)數(shù)發(fā)散.二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性例5求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.級(jí)數(shù)收斂.解:收斂.二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性例6求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.發(fā)散.(*)對(duì)于(*)3.1、和函數(shù)三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和
6、是的函數(shù)，稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)。三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)3.2、和函數(shù)的可加性其中的收斂半徑為收斂區(qū)間為（-1,1）三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)3.3、和函數(shù)的連續(xù)性如果冪級(jí)數(shù)內(nèi),它的和函數(shù)則在收斂區(qū)間是連續(xù)函數(shù),在端點(diǎn)收斂,則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).的收斂半徑為(收斂半徑不變，收斂區(qū)間可能改變。）三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)3.4、逐項(xiàng)可導(dǎo)性冪級(jí)數(shù)?￥=0nnnxa的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間),(RR-內(nèi)可導(dǎo),并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.(收斂半徑不變，收斂區(qū)間可能改變。）三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)3.4、逐項(xiàng)可積性冪級(jí)數(shù)?￥=0nnnxa的和函數(shù))(xs
7、在收斂區(qū)間),(RR-內(nèi)可積,且對(duì)),(RRx-?"可逐項(xiàng)積分.上式兩邊積分得：于是冪級(jí)數(shù)在逐項(xiàng)微分或積分后，收斂半徑不變，但是收斂區(qū)間可能改變。逐項(xiàng)積分后，收斂半徑?jīng)]變，收斂區(qū)間改變了。三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)由于我們已知收斂的幾何級(jí)數(shù)的求和公式，所以對(duì)于冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)，總設(shè)法將級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)轉(zhuǎn)化為幾何級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，方法就是逐項(xiàng)積分或微分。1、求收斂半徑，并設(shè)其和函數(shù)為S（x）2、求積分，使其轉(zhuǎn)化為幾何級(jí)數(shù)，然后求和3、對(duì)逐項(xiàng)求導(dǎo)，得到和函數(shù)對(duì)4、考察原級(jí)數(shù)端點(diǎn)的斂散性，得收斂區(qū)間求和函數(shù)的方法三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)解
8、：三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)例4發(fā)散;發(fā)散;故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為解：三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)例4上式求導(dǎo)：解：三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)例4解三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)例5求級(jí)數(shù)?￥=--11)1(nnnnx的和函數(shù).收斂;發(fā)散;故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為解兩邊積分得三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)例5求級(jí)數(shù)?￥=--11)1(nnnnx的和函數(shù).解：三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)例6發(fā)散;收斂;故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為解：三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)例6練習(xí).求的和函數(shù)，并求解：當(dāng)x=1/2時(shí)，三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)作業(yè)：習(xí)題11-
