泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)

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1、泰勒級數(shù)泰勒(Taylor)級數(shù)洛朗級數(shù)洛朗(Laurent)級數(shù)張紅英張紅英1.問題的引入§4.3泰勒(Taylor)級數(shù)2.泰勒級數(shù)展開定理3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式4.小結(jié)一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。1.問題的引入問題:任一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達？.內(nèi)任意點如圖:.K.冪級數(shù)性質(zhì)回顧：定理（泰勒級數(shù)展開定理）2.泰勒(Taylor)級數(shù)展開定理Dk代入(1)分析：Dkz聯(lián)合(I),(II)(*)式證明：注：(2)展開式的唯一性分析：設(shè)f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):直接法間接法：由展開式的唯

2、一性，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分析運算和已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式例1解：直接法間接法例2把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù):解：(2)由冪級數(shù)逐項求導(dǎo)性質(zhì)得：注:通過奇點判斷收斂范圍。4.小結(jié)：F(z)在z0點解析1.引入§4.4羅朗(Laurent)級數(shù)2.雙邊冪級數(shù)3.Laurent級數(shù)展開定理4.函數(shù)的Laurent級數(shù)展開式5小結(jié)回顧：f(z)在z0解析思考：若f(z)在z0點不解析，但在圓環(huán)域:R1

3、)在z0的某一個圓域?z-z0?

4、0?=R2上,3.洛朗級數(shù)展開定理定理(2)在許多實際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點z0的去心鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成洛朗（Laurent）級數(shù)來展開。級數(shù)中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。(3)展開式的唯一性一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f(z)的洛朗級數(shù)。分析：Dz0R1R2cDz0R1R2c由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)，主要用間接法。例1解4函數(shù)的Laurent級數(shù)展開式例2解例3解例4xyo12xyo12xyo12解:無奇點注

5、意首項解(1)在(最大的)去心鄰域例5yxo12(2)在(最大的)去心鄰域xo12練習(xí)：(1)Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的不同點：Taylor級數(shù)先展開求收斂半徑R,找出收斂域。Laurent級數(shù)先求f(z)的奇點，然后以z0為中心奇點為分隔點，找出z0到無窮遠點的所有使f(z)解析的環(huán)域，在環(huán)域上展成級數(shù)。5小結(jié)(3)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù)。(1)對于無理函數(shù)及其它初等函數(shù)的洛朗展開式，可以利用已知基本初等函數(shù)的泰

6、勒展開式，經(jīng)過代換、逐次求導(dǎo)、逐次積分等計算獲得。(4)把f(z)展成洛朗級數(shù)的方法：(2)對于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)分解成多項式與若干個最簡分式之和，然后利用已知的幾何級數(shù)，經(jīng)計算展成需要的形式。ENDING,THANKS