邊緣分布與條件分布

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1、第二節(jié)邊緣分布邊緣分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度課堂練習(xí)二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.而單個(gè)隨機(jī)變量X,Y也具有自己的概率分布.那么要問:二者之間有什么關(guān)系呢?二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,具有分布函數(shù)而和都是隨機(jī)變量,也有各自的分布函數(shù),變量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機(jī)一、邊緣分布函數(shù)分別記為關(guān)系式:記?。阂话愕兀瑢ΧS離散型隨機(jī)變量(X,Y)，(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律（即X的分布律）為:X和Y的聯(lián)合分布律為：二、二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣分布律(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律（即

2、Y的分布律）為:二維離散型隨機(jī)變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為:我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.例1已知下列分布律求其邊緣分布律.解注意聯(lián)合分布邊緣分布例2已知下列分布律求其邊緣分布律.例3設(shè)隨機(jī)變量且滿足P{X1X2=0}=1，求（1）(X1,X2)的聯(lián)合概率分布；（2）P{X1

3、密度函數(shù)是分片表示的時(shí)候，應(yīng)特別注意所求邊緣密度應(yīng)如何分段以及積分限應(yīng)如何選取.上的均勻分布，例4設(shè)(X,Y)服從求X及Y邊緣概率密度。解（X，Y）的概率密度為先計(jì)算注二維均勻分布的邊緣分布也為均勻分布。例5試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度.解因?yàn)樗詣t有同理注二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù).由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.也就是說,對于給定的不同的對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明例5試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度.四、課堂練習(xí)設(shè)(X,Y)的概率密度是求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度.解暫時(shí)固定當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故暫時(shí)固定暫

4、時(shí)固定暫時(shí)固定當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故第三節(jié)條件分布離散型隨機(jī)變量的條件分布連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布課堂練習(xí)在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y，在給定Y取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布.這種分布就是條件分布.例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機(jī)變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布現(xiàn)在若限制1.7

5、挑出的學(xué)生中求其體重的分布.容易想象，這個(gè)分布與不加這個(gè)條件時(shí)的分布會不一樣.例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加.一、二維離散型隨機(jī)變量的條件分布實(shí)際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復(fù).定義1設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對于固定的j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.P{X=xi

6、Y=yj}=，i=1,2,…作為條件的那個(gè)隨機(jī)變量,認(rèn)為取值是給定的，在此條件下求另一隨機(jī)變量的概率分布.類似地可定義在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.P{Y=yj

7、X=xi}=j=1,2,…對于固定的i,當(dāng)P{X=xi}>0時(shí)，稱為在X=x

8、i條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.P{X=xi

9、Y=yj}，i=1,2,…P{Y=yj

10、X=xi}，j=1,2,…條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì).正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì)一樣.例如：i=1,2,…例1解由上述分布律的表格可得二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，由于對任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能象離散的一樣直接用條件概率公式定義條件分布，要用到極限的方法，下面我們直接給出條件概率密度的計(jì)算公式.則稱為在的條件下的條件概率密度.若對于固定的,設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為關(guān)于的邊緣概率密度為,記為稱為在的條

11、件下,的條件分布函數(shù).記為定義2即類似地,可以定義在的條件下Y的條件概率密度以及條件分布函數(shù)例2設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解X的邊緣密度為由于當(dāng)

12、x

13、≥1時(shí),只有當(dāng)

14、x

15、<1時(shí),才有故只有當(dāng)x?。?1,1）中的固定值時(shí)，才有即當(dāng)

16、x

17、<1時(shí),有X的取值x已知，即x是固定常數(shù)這里是y的取值范圍X已知的條件下Y的條件密度注二維均勻分布的條件分布仍為均勻分布。注二維正態(tài)分布的條件分布仍為正態(tài)分布。三、課堂練習(xí)1.對于