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《階常系數(shù)非齊次線性(II)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第九節(jié)常系數(shù)非齊次線性微分方程一、二、——二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程通解結構常見類型難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.自由項為一、?為實數(shù),設特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若?不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m次多項式.Q(x)為m次待定系數(shù)多項式(2)若?是特征方程的單根,為m次多項式,故特解形式為(3)若?是特征方程的重根,是m次多項式,故特解形式為小結對方程①,此結論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當?是特征方程的k重根時,可設特解例1解特征方程特征根對應齊次方程通解代入方程,得原
2、方程通解為例2.的一個特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為求通解特征方程特征根齊通解即代入（*）式非齊通解為例3.解例4.求解定解問題解:本題特征方程為其根為設非齊次方程特解為代入方程得故故對應齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得于是所求解為解得思考寫出微分方程的待定特解的形式.解答設的特解為設的特解為則所求特解為特征根（重根）二、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點第一步利用歐拉公式將
3、f(x)變形第二步求如下兩方程的特解是特征方程的k重根(k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設則②有特解:第三步求原方程的特解利用第二步的結果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程均為m次多項式.第四步分析因均為m次實多項式.本質(zhì)上為實函數(shù),待定待定解例5f(x)=e?x[Pm1(x)cos?x+Pm2(x)sin?x]型所求通解：解例6原方程特解解例7?原方程通解待定待定f(x)=e?x[Pm1(x)cos?x+Pm2(x)sin?x]型注:對非齊次方程則可設特解:其中為特征方程的k重根(k=0,1),上述結論
4、也可推廣到高階方程的情形.練習時可設特解為時可設特解為1.設2.求微分方程的通解(其中為實數(shù)).3.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.4.求通解練習時可設特解為時可設特解為提示:1.(填空)設2.求微分方程的通解(其中為實數(shù)).解:特征方程特征根:對應齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為3.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應齊次方程通解:原方程通解為4.求通解解相應齊方程特征方程齊通解先求的特解設代入方程再求的特解原方程特解
5、原方程的特解所求通解為P3171(1),(5),(6),(10);2(2),(4);3;6
