食餌—捕食者模型穩(wěn)定性分析[1]

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1、食餌—捕食者模型穩(wěn)定性分析【摘要】自然界中不同種群之間還存在著一種非常有趣的既有相互依存、又有相互制約的生活方式：種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲等。本文是基于食餌—捕食者之間的有關(guān)規(guī)律，建立具有自身阻滯作用的兩種群食餌—捕食者模型，分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，進(jìn)行相軌線分析，并用數(shù)值模擬方法驗(yàn)證理論分析的正確性?！娟P(guān)鍵詞】食餌—捕食者模型相軌線平衡點(diǎn)穩(wěn)定性一、問(wèn)題重述在自然界中，存在這種食餌—捕食者關(guān)系模型的物種很多。下面討論具有自身阻滯作用的兩種群食

2、餌-捕食者模型，首先根據(jù)該兩種群的相互關(guān)系建立模型，解釋參數(shù)的意義，然后進(jìn)行穩(wěn)定性分析，解釋平衡點(diǎn)穩(wěn)定的實(shí)際意義，對(duì)模型進(jìn)行相軌線分析來(lái)驗(yàn)證理論分析的正確性。二、問(wèn)題分析本文選擇漁場(chǎng)中的食餌(食用魚)和捕食者(鯊魚)為研究對(duì)象，建立微分方程，并利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求出微分方程的數(shù)值解，通過(guò)對(duì)數(shù)值結(jié)果和圖形的觀察，猜測(cè)出它的解析解構(gòu)造。然后，從理論上研究其平衡點(diǎn)及相軌線的形狀，驗(yàn)證前面的猜測(cè)。三、模型假設(shè)1.假設(shè)捕食者（鯊魚）離開食餌無(wú)法生存；2.假設(shè)大海中資源豐富，食餌獨(dú)立生存時(shí)以指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)；四、符號(hào)說(shuō)明/——食餌(

3、食用魚)在時(shí)刻的數(shù)量；/——捕食者(鯊魚)在時(shí)刻的數(shù)量；——食餌(食用魚)的相對(duì)增長(zhǎng)率；——捕食者(鯊魚)的相對(duì)增長(zhǎng)率；——大海中能容納的食餌(食用魚)的最大容量；——大海中能容納的捕食者(鯊魚)的罪的容量；——單位數(shù)量捕食者（相對(duì)于）提供的供養(yǎng)食餌的實(shí)物量為單位數(shù)量捕食者(相對(duì)于)消耗的供養(yǎng)甲實(shí)物量的倍；——單位數(shù)量食餌（相對(duì)于）提供的供養(yǎng)捕食者的實(shí)物量為單位數(shù)量捕食者(相對(duì)于)消耗的供養(yǎng)食餌實(shí)物量的倍；——捕食者離開食餌獨(dú)立生存時(shí)的死亡率。五、模型建立食餌獨(dú)立生存時(shí)以指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)，且食餌(食用魚)的相對(duì)增長(zhǎng)率為，即，而

4、捕食者的存在使食餌的增長(zhǎng)率減小，設(shè)減小的程度與捕食者數(shù)量成正比，于是滿足方程(1)比例系數(shù)反映捕食者掠取食餌的能力。由于捕食者離開食餌無(wú)法生存，且它獨(dú)立生存時(shí)死亡率為，即，而食餌的存在為捕食者提供了食物，相當(dāng)于使捕食者的死亡率降低，且促使其增長(zhǎng)。設(shè)這種作用與食餌數(shù)量成正比，于是滿足(2)比例系數(shù)反映食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力。方程(1)、(2)是在自然環(huán)境中食餌和捕食者之間依存和制約的關(guān)系，這里沒(méi)有考慮種群自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡(jiǎn)單的模型。下面，我們加入種群自身的阻滯作用，在上兩式中加入Logistic項(xiàng)，

5、即建立以下數(shù)學(xué)模型：(3)(4)六、模型求解在此，我們采用MATLAB軟件求解此微分方程組中的、的圖形及相軌線圖形。設(shè)，，，，,,使用MATLAB軟件求解，程序代碼如下：1)建立M文件functiony=fun(t,x)y=[x(1).*(1-x(1)./3500-1.5*x(2)./500),0.4.*x(2).*(-1+4.*x(1)./3500-x(2)./500)]';2)在命令窗口輸入如下命令：[t,x]=ode45('fun1',[0,40],[2000,35])得到數(shù)值解如下：t(x(1),x(2))1.0e

6、+003*(單位：千克)00.10330.20660.30990.41320.80791.20262.00000.03502.06540.03692.12760.03892.18630.04122.24120.04382.41130.05602.51110.07321.59731.99192.38062.76933.15793.54663.93534.32394.71265.10125.41675.73226.04776.36316.74467.12617.50767.88918.29678.70429.11179.519

7、310.017310.515311.013311.511312.045312.579313.113313.647314.223114.798915.374715.950516.552317.154117.755918.357719.040319.722920.405421.088021.857422.62682.53580.09612.48700.12482.37410.15772.21270.19222.02280.22461.82470.25141.63600.26971.47270.27931.34310.28131

8、.24270.27751.17800.27171.12940.26421.09510.25611.07280.24761.05990.23771.05930.22861.06840.22061.08510.21391.10940.20811.13760.20381.16760.20091.19750.1