左逆,右逆,正交陣

《左逆,右逆,正交陣》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、矩陣集合上定義了乘法。以向量?jī)?nèi)積為基礎(chǔ)的矩陣乘法非常成功。但它是不可交換的。即，通常有AB≠BA，那怕在n階方陣子集中也這樣。矩陣的乘法有“單位元”E（n階方陣）。即在可乘的條件下，AE=A或BE=B，E在乘法中的作用，就象數(shù)1那樣。若n階方陣A滿秩，它就應(yīng)該有逆元。即“右逆”AB=E或“左逆”CA=E由于矩陣乘法不可易，按理“右逆”與“左逆”可能不同。但是《線性代數(shù)》中，滿秩方陣A的逆陣B的定義就是AB=BA=E之所以有這個(gè)特殊性，原因在于A有伴隨陣A*基本恒等式A*A=AA*=

2、A

3、E在A滿

4、秩時(shí)，它告訴我們，A*/

5、A

6、就既是A的“右逆”，又是A的“左逆”。且按照矩陣相等的定義，滿秩方陣A的逆陣唯一。有趣的是，如果n階方陣A的“列向量組”是標(biāo)準(zhǔn)正交組（單位正交組），則A′A=E你只能先說(shuō)A′是A的“左逆”。A′的行，就是A的列。左行右列作內(nèi)積，恰好用上已知條件。但是，逆陣唯一，“左逆”就是“右逆”。AA′=E這樣一來(lái)，A的行向量組必定也是標(biāo)準(zhǔn)正交組。同樣，如果n階方陣A的“行向量組”是標(biāo)準(zhǔn)正交組，那它的列向量組必定也是標(biāo)準(zhǔn)正交組。實(shí)際上，很簡(jiǎn)單，AA′=E，則

7、A

8、=±1滿秩方陣A

9、的的逆陣唯一，A′=±A*只有兩類正交陣——要么A的每一元就等于自己的代數(shù)余子式，要么A的每一元等于自己的代數(shù)余子式的相反數(shù)。另有一個(gè)應(yīng)用逆陣唯一性的好例。例A和B都是n階方陣，且AB=A?B，試證明，A+E可逆，且AB=BA分析要先生成A+E，只有在AB=A?B上想辦法。AB+B=A+E?E，進(jìn)而有E=（A+E）（E?B）這表明A+E可逆，且它的（右逆）為E?B如何證第二問？好象沒條件了。如果你能想到，右逆就是左逆。那就動(dòng)筆試乘一下（E?B）（A+E）=E=（A+E）（E?B）整理后恰好有AB

10、=BA真妙啊，研考題會(huì)不會(huì)這樣做文章呢？！