導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

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1、第三講導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、某處導(dǎo)數(shù)值的定義對(duì)于函數(shù)y=f(x)在x0處，特殊極限值=a存在，則稱函數(shù)在x0處導(dǎo)數(shù)存在為a，記為f'(x0)，否則稱不可導(dǎo)．二、導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）1:導(dǎo)數(shù)公式：（sinx）'=cosx,(cosx)'=-sinx,(tanx)'=,(cotx)'=,（x為自變量，α為常數(shù)，以下類似），特別,，特別,c＇＝0（常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0）,[u(x)+v(x)]＇＝u＇(x)+v＇(x)（相加的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)相加）(au(x))＇=au＇(x),(數(shù)乘的導(dǎo)數(shù)可以提出來)，（其中a為某常實(shí)數(shù)）[u(x)-v(

2、x)]＇＝u＇(x)-v＇(x).(相減的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)相減)例1:(1)已知函數(shù),求函數(shù)在1處的導(dǎo)數(shù)．解:有兩種方法可解此題,一種為定義法,一種為公式法.一般用公式法.,,所以．(2)已知:,求:.解.(3)已知:,求:解:(4)已知:,求:,解:.(5)已知,求:解:(6),求,解..注:切記微分公式dy＝y(tǒng)＇dx.2:相乘除的導(dǎo)數(shù)法則(1),．(2)微分：設(shè)y=y(x),則：y的微分dy=y＇dx例1:已知函數(shù)y=extanx,求:y＇,dy解：y＇＝（extanx,）＇＝（ex）＇tanx＋ex（tanx）＇,,

3、則dy＝y(tǒng)＇dx＝.例：已知函數(shù)y=,求:y＇,dy解：y=,y＇＝,所以：dy=y＇dx＝.例．已知，求．解(x)===例．已知，求．解：(x)===例．已知，求,．解,三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)1：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)的公式，（其中*為x的函數(shù)，即*中有自變量）（sin*）'=cos*×*＇(cos*)'=-sin*×*＇(tan*)'=×*＇(cot*)'=×*＇（α為常數(shù)），特別,，特別,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的有關(guān)內(nèi)容比較難,比較重要，請(qǐng)務(wù)必注意.例1:已知函數(shù)y=e3x,求：dy.解：先把3x看成*，則y＇＝（e3x）＇＝e3x（

4、3x）＇＝3e3x,dy=y＇dx=3e3xdx.例2：已知函數(shù)y=sin4x2,求：dy.解：先把4x2看成*，則y＇=（sin4x2）＇,則dy例3:已知函數(shù)y=,求：y＇.解：先把看成*，則,再分別把2x,4x看成*，則：.例4:．已知，求；解因?yàn)樗岳?:已知y=，求．解因?yàn)樗岳?:設(shè)，求．解因?yàn)樗岳?．設(shè)，求．解因?yàn)樗岳?．已知，求解：四、幾何應(yīng)用一個(gè)函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)值就是圖像在這里切線的斜率．例1；已知拋物線y=3x2+6x-7，求在x=1處切線方程解：y＇=（3x2+6x-7）＇＝6x+6,y＇(

5、1)=6+6=12為切線的斜率Ｋ，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程　　y-y0=K(x-x0),其中x0＝１，y0＝3＋6－7＝2,則方程為：　y-2=12(x-2),　　　　　　　　y=12x－22,注：很多人只算y＇，不算y＇(1)，這是錯(cuò)誤的．五:隱函數(shù)求導(dǎo)例1方程x2+y2=3sinx確定函數(shù)y=y(x),求y'(x)解（注意y是x的函數(shù)）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，有2x+2yy'=3cosx,2yy'=3cosx-2x,.例2:方程ex+xy2=3y確定函數(shù)y=y(x),求y'(x)和dy解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，有xex+y2+2xyy

6、'=3y',(2xy-3)y'=-(xex+y2),..例3．由方程確定是的隱函數(shù)，求.解對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得=.例4．設(shè)函數(shù)由方程確定，求．解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得當(dāng)時(shí)，所以，例5．由方程確定是的隱函數(shù)，求．解在方程等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得故