導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用pdf

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1、-----------------------Page1-----------------------課余攬勝數(shù)學(xué)化 · 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的 □重慶劉紫陽應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)知識是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),它在自然科令得()(2),又, y′=03x-203x+400=000, 時,又促進了生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展,它不僅"$ 3 在天文物理工程領(lǐng)域有著

2、廣泛的應(yīng)用而且在日 、、,故當(dāng)x=20時,y取得最小值, 3 常生活及經(jīng)濟領(lǐng)域也是逐漸顯示出重要的作用. 導(dǎo)數(shù)是探討數(shù)學(xué)乃至自然科學(xué)的重要的有效即當(dāng)C位于距點A為20km時,使該點的煙塵 、3 的工具之一,它也給出了我們生活中很多問題的答濃度最低. 數(shù) 數(shù) 案諸如生活中的有關(guān)環(huán)境問題工程造價最省容 學(xué).、、 學(xué)評注在經(jīng)濟高速發(fā)展的同時,人們也越來越 愛 愛 好積最大等,本文將介紹如何將生活中的有關(guān)數(shù)學(xué)問關(guān)心我們賴以生存的環(huán)境質(zhì)量這提示我們不能僅 好, 者 者 題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的導(dǎo)數(shù)問題來求解,以此說明如何應(yīng)一味地追求經(jīng)濟效益,同時應(yīng)當(dāng)注意保

3、護環(huán)境. 專專 業(yè)業(yè)SS用所學(xué)數(shù)學(xué)知識靈活地應(yīng)用于生活.類型二工程造價問題 精精心心策策劃劃 類型一環(huán)境問題例2如圖所示,某地為了開發(fā)旅游資源,欲修 高高 例1煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污建一條連接風(fēng)景點P和居民區(qū)O的公路,點P所在 考 考 染,已知落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為 αθ 距離的平方成反比,而與該煙囪噴出的煙塵量成正2 (),且,點到平面的距離 0°<θ<90°sinθ=PαPH= 5 比現(xiàn)有、兩座煙囪相距,其中座煙囪噴 .AB20kmB ()沿山腳原有一段筆直的公路

4、可供利用 0.4km.AB. 出的煙塵量是A的8倍,試求出兩座煙囪連線上的 從點O到山腳修路的造價為a萬元/km,原有公路改 點C,使該點的煙塵濃度最低. 分析由題意知要確定某點的煙塵濃度最低,建費用為a萬元/km.當(dāng)山坡上公路長度為lkm(1≤ 2 顯然其煙塵濃度源自這兩座煙囪,與其距離密切相)時,其造價為(2)萬元已知, l≤2l+1a.OA⊥ABPB⊥ 關(guān),因此可考慮先設(shè)出與某個煙囪的距離,從而表 ,(),3 ABAB=1.5kmOA=’km. 示出相應(yīng)的煙塵濃度,再確定其最小值即可.(1)在AB上求一點D,使沿折線PDAO修建

5、公 解不妨設(shè)A煙囪噴出的煙塵量是1,而B煙路的總造價最小; 囪噴出的煙塵量為8,設(shè)AC=x(其中00),3ABD′E′ x2(20-x)2 沿折線PD′E′O修建公路的總造價小于(2)中得到 ()(2) 2k3x-203x+400 y′=22. x(20-x)的最小總造價,證明你的結(jié)論. #!"數(shù)學(xué)愛好者

6、-----------------------Page2-----------------------課余攬勝數(shù)學(xué)化 · 事實上,在上任取不同的兩點、為使 ABD′E′. 總造價最小,顯然不能位于與之間 ED′B. A O故可設(shè)位于與之間, E′D′A P E3 且BD′=x,AE′=y,0≤x+y≤,總造價為S萬 H1112 D2 B 2x12y111 分析由題意知要求修建公路的總造價最小元,則x-+y+3-+類似于()、() S=1&1a.12 +224* 值,可以先建立相應(yīng)的總造價函數(shù)關(guān)系式,再確定 討論知,2x11,2y1

7、3,當(dāng)且僅當(dāng) x-≥-y+3-≥x= 1&11 其最小值即可.21622 解()如圖,,,,1 1PH⊥αHB"αPB⊥AB,y=1同時成立時,上述兩個不等式等號同時成 1 4 由三垂線定理 Aα立,此時1,,取得最小值67,點、 BD′=AE=1SaD′ 逆定理知,AB⊥HB,OEP416 H D B分別與點、重合,所以不存在這樣的點、, 所以∠PBH是山坡與E′DED′E′ PH使沿折線PD′E′O修建公路的總造價小于(2)中得 所成二面角的平面角,則,設(shè) α∠PBH=θPB==1. sinθ 到的最小總造價. , BD=x0≤

8、x≤1.5. 評注在經(jīng)濟建設(shè)的過程中,常常涉及成本問 數(shù)數(shù) 則222[,] PD=&x+PB=&x+1∈12.題人們總是想利用最少的錢辦最多的事這就常學(xué)學(xué) ,、, 愛愛 記總造價為()萬元,據(jù)