非線性規(guī)劃-無約束問題

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1、第三章最優(yōu)化方法運(yùn)籌學(xué)施鵬當(dāng)要求容器的容積一定，求表面積最小，以使用料最省。第三節(jié)非線性規(guī)劃x1x2s.tx1≥0，x2≥0一連續(xù)反應(yīng)器如圖所示，進(jìn)行如下反應(yīng)已知單位體積的液相反應(yīng)速率為原料A的單位成本折舊、公用工程和其他費(fèi)用根據(jù)預(yù)測，市場只能提供物料A600單位/h，產(chǎn)品B的市場需求量FB不超過50單位/h，產(chǎn)品B的價格為C3=2000元/單位。試確定物料A的進(jìn)料速度FA0、初始濃度CA0、反應(yīng)器體積V和轉(zhuǎn)化率各取多大，才能使得該反應(yīng)器在單位時間內(nèi)的經(jīng)濟(jì)效益是最好的？目標(biāo)函數(shù)或約束條件中有非線性函數(shù)的規(guī)劃問題非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃的最優(yōu)解可能在其可行域中的任意一點(diǎn)達(dá)到不一定是全局最優(yōu)解背景

2、理論計算相對于計算要求，計算能力仍十分有限背景為加快計算速度，必須明確各種方法的特點(diǎn)，以針對不同問題選擇最合適的方法求解思路：迭代從一個選定的初始點(diǎn)x0出發(fā)，按照某種特定的迭代規(guī)則產(chǎn)生一個點(diǎn)列{xk}xk有窮點(diǎn)列：最后一個點(diǎn)為最優(yōu)解xk無窮點(diǎn)列：其中一個點(diǎn)為最優(yōu)解基本迭代格式：第k輪迭代點(diǎn)：第k+1輪迭代點(diǎn)tk：搜索步長pk：迭代方向?qū)τ诖嬖讦?0，使則稱x*為R上的局部極小點(diǎn)，f(x*)稱為局部極小值→嚴(yán)格局部極小點(diǎn)、嚴(yán)格局部極小值基本概念若對于任意x，有則x*為R上的全局極小點(diǎn)，f(x*)為全局極小值→嚴(yán)格全局極小點(diǎn)、嚴(yán)格全局極小值基本概念凸集：對于在集合中的每一對點(diǎn)x1和x2，連接兩

3、點(diǎn)所形成的直線段上任一點(diǎn)都在此集合內(nèi)，則該集合為凸集凸函數(shù)凸規(guī)劃凸函數(shù)如果函數(shù)滿足則稱f(x)為F上的凸函數(shù)若則稱f(x)為嚴(yán)格凸函數(shù)凸函數(shù)凸規(guī)劃凸函數(shù)凸規(guī)劃yxox1x2γx1+(1-γ)x2y=f(x)??凸函數(shù)凸函數(shù)凸規(guī)劃yxox1x2γx1+(1-γ)x2y=f(x)??非線性規(guī)劃如f(x)和gi(x)都為凸函數(shù)，則稱該規(guī)劃問題為凸規(guī)劃可以證明：f(x)的局部極小值也是全局最小值理想情況凸函數(shù)凸規(guī)劃若f(x)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則f(x)為凸函數(shù)?對?x1、x2?R，有f(x2)≥f(x1)+?f(x1)T(x2-x1)f(x)為嚴(yán)格凸函數(shù)?對?x1、x2?R，有f(x2)＞f(x1

4、)+?f(x1)T(x2-x1)凸性和凹性的判定（一階條件）Hessian矩陣凸性和凹性的判定（二階條件）H為對稱矩陣?yán)袛嘞铝泻瘮?shù)的凹凸性（x?R）(a)f(x)=3x2(b)f(x)=2x(c)f(x)=-5x2(d)f(x)=2x2-x3解(a)f”=6，故f(x)為（嚴(yán)格）凸函數(shù)。(b)f”=0，故f(x)既凸又凹(c)f”=-10，故f(x)為（嚴(yán)格）凹函數(shù)(d)f”=4-6x，故f(x)既不為凸也不為凹對于多元函數(shù)，如何判斷H是否正定？特征值f(x)H特征值嚴(yán)格凸函數(shù)正定>0凸函數(shù)半正定≥0凹函數(shù)半負(fù)定≤0嚴(yán)格凹函數(shù)負(fù)定<0例分析函數(shù)指出此函數(shù)屬于哪種類型H正定，f(x)為嚴(yán)格

5、凸函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件對于一元函數(shù)f(x)極值存在必要條件→f’(x)=0（穩(wěn)定點(diǎn)）充分條件→f’(x)=0且無約束問題f”(x)>0f”(x)<0對n維函數(shù)必要條件：f(x)在x*處一階可導(dǎo)充分條件H(x*)正定，則x*為極小值，反之為極大值例求函數(shù)的所有穩(wěn)定點(diǎn)解解方程組得試判斷所得的穩(wěn)定點(diǎn)是否為最優(yōu)解求得各點(diǎn)的H特征值和穩(wěn)定點(diǎn)類型如下：穩(wěn)定點(diǎn)f(x)特征值1.941，3.8540.985537.030.97局部極小點(diǎn)-1.053，1.028-0.513410.503.50（全局）極小點(diǎn)0.6117，1.49292.83007.0-2.56鞍點(diǎn)一維搜索法多項式近似求導(dǎo)數(shù)方法主

6、要方法Fibonacci法0.618法二次插值法三次插值法一階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)最速下降法共軛梯度法牛頓法擬牛頓法*一維搜索法步長tk的選定是由使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方向下降最多為依據(jù)的，因此這一工作變成了求解以tk為變量的一元函數(shù)，故得名一維搜索法。無約束問題適用于某些不能求得一階導(dǎo)數(shù)解析解的問題如求最小回流比其中?ij：組分i對組分j的相對揮發(fā)度xDi：塔頂產(chǎn)品中i組分的組成?：由Underwood公式確定用經(jīng)典的微分方法很難求解斐波那契（Fibonacci）法（分?jǐn)?shù)法）0.618法無需求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)值判斷搜索方向適用于求解已知極值區(qū)間的單峰函數(shù)一維搜索法（消去法）f(x2)＜f(x1)，去掉[

7、x1,b0]，此時x*?[a0,x1]一維搜索法（消去法）f(x)xoa0b0x*x1,x2在x*的右側(cè)x1x2f(x2)＞f(x1)，去掉[a0,x2]，此時x*?[x2,b0]一維搜索法（消去法）f(x)xoa0b0x*x1,x2在x*的左側(cè)x1x2f(x2)＝f(x1)：a.去掉[x1,b0]，此時x*?[a0,x1]b.去掉[a0,x2]，此時x*?[x2,b0]f(x)xoa0b0x*x1,x2在x*的兩側(cè)x1