在Excel中進(jìn)行樣條插值計(jì)算

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1、樣條插值計(jì)算的EXCEL實(shí)現(xiàn)范肖南安徽理工大學(xué)材料科學(xué)與工程系安徽淮南232001摘要本文介紹了樣條插值在Excel中實(shí)現(xiàn)的方法，并以實(shí)例說明了具體應(yīng)用過程。關(guān)鍵詞樣條插值規(guī)劃求解EXCEL應(yīng)用Excel功能強(qiáng)大，它的數(shù)學(xué)及工程函數(shù)有近百個(gè)，使用起來十分方便，可以用來解決許多工程問題，例如，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、回歸分析、曲線擬合建模等。在Excel中可以利用圖表工具繪制光滑連續(xù)曲線，但是如果打算利用Excel進(jìn)行樣條插值計(jì)算或是從光滑曲線上獲取數(shù)值時(shí)，就會(huì)遺憾地發(fā)現(xiàn)沒有相應(yīng)的內(nèi)置函數(shù)可供利用。樣條插值方法被廣泛的用于選礦工程的數(shù)

2、據(jù)處理中，Excel可以應(yīng)用于選礦工程應(yīng)用的方方面面，因此解決在Excel中使用樣條插值的問題具有實(shí)際應(yīng)用意義。1．樣條函數(shù)的基本公式[1]設(shè)有n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)，函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處的值為，分段函數(shù)在子區(qū)間上的表達(dá)式是次數(shù)不高于3的代數(shù)多項(xiàng)式，樣條函數(shù)就是由這些分段函數(shù)構(gòu)成的，其表達(dá)式是，——————（1）式中，是待定參數(shù)，對(duì)于常用的自然樣條，，其它值可以通過解以下方程組得到——————（2）式中，，對(duì)于樣條函數(shù)的計(jì)算，關(guān)鍵是樣條函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)上的二階微分值的確定。1．在Excel中求解樣條函數(shù)的思路在EXCEL中根據(jù)公式（1）

3、和公式（2）確定樣條函數(shù)中的待求參數(shù)并進(jìn)行樣條插值計(jì)算需要解決三個(gè)問題，一是在工作表中如何進(jìn)行數(shù)據(jù)設(shè)置，二是如何求解樣條函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)上的二階微分值，三是如何在工作表中應(yīng)用樣條函數(shù)。（1）EXCEL工作表中的變量布置在工作表中的數(shù)據(jù)設(shè)置形式應(yīng)當(dāng)以輸入數(shù)據(jù)量小，計(jì)算公式輸入方便為準(zhǔn)，對(duì)于變量通常采用列的形式設(shè)置。（2）樣條函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上二階微分值的確定樣條函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)上的二階微分值的確定是建立樣條函數(shù)的關(guān)鍵。方程組（2）可以利用Excel的自帶工具“規(guī)劃求解”進(jìn)行求解。從形式上看這個(gè)問題沒有明顯的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。實(shí)際上可以將

4、方程組中的任意一個(gè)方程作為目標(biāo)函數(shù)，而將其他方程作為約束條件。明確這一點(diǎn)以后，求解方程組的方法也就和其它規(guī)劃求解問題類似了。為了便于在規(guī)劃求解對(duì)話框中設(shè)置目標(biāo)函數(shù)和約束條件，將方程組（2）改寫為——————（3）這樣在設(shè)置目標(biāo)函數(shù)和約束條件時(shí)，輸入數(shù)據(jù)0要比輸入其它數(shù)據(jù)更為方便。（3）工作表中樣條插值函數(shù)的計(jì)算樣條函數(shù)是分段函數(shù)，對(duì)于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，具有n個(gè)分段函數(shù)，在進(jìn)行插值計(jì)算時(shí)，首先要判定欲求變量所處的子區(qū)間，然后確定對(duì)應(yīng)的分段函數(shù)，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，利用VBA編程可以簡(jiǎn)化其工作量。具體解算過程在實(shí)例中介紹。2．樣

5、條函數(shù)求解實(shí)例在分選作業(yè)的預(yù)測(cè)計(jì)算中，為了使計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確，往往希望增加浮沉試驗(yàn)的密度級(jí)，這在實(shí)際應(yīng)用中是十分困難的?？梢岳糜?jì)算的辦法將浮沉試驗(yàn)密度級(jí)加密，取得符合需要的一組新的可選性數(shù)據(jù)，這個(gè)過程也稱為可選性數(shù)據(jù)的細(xì)化。利用三次樣條函數(shù)插值法，建立邁耶爾曲線和密度曲線的數(shù)學(xué)模型，并由此出發(fā)導(dǎo)出可選性分析的全部數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)可選性曲線細(xì)化[2]。邁耶爾曲線（M曲線）可以采用改進(jìn)的M曲線進(jìn)行樣條插值，改進(jìn)的M曲線的縱坐標(biāo)仍然是累計(jì)重量，橫坐標(biāo)則是累計(jì)灰分量。為了便于與密度曲線結(jié)合導(dǎo)出其它可選性分析數(shù)據(jù)，在進(jìn)行樣條插值時(shí)，通常將

6、M曲線的自變量和因變量交換，即以橫坐標(biāo)為累計(jì)重量，縱坐標(biāo)為累計(jì)灰分量。下面以改進(jìn)的M曲線的樣條插值為例，說明如何在Excel中建立插值函數(shù)的方法。例原煤浮沉試驗(yàn)的數(shù)據(jù)見表1，試以累計(jì)重量為橫坐標(biāo)，累計(jì)灰分量為縱坐標(biāo)對(duì)改進(jìn)的M曲線建立樣條插值函數(shù)，兩端點(diǎn)按自然樣條處理，即M0=Mn=0。表1原煤浮沉試驗(yàn)密度級(jí)-1.31.3~1.41.4~1.51.5~1.61.6~1.8+1.8重量W,%15.1528.1612.46.487.5830.23灰分A,%4.9710.7718.7327.6439.5873.71由表1可以計(jì)算得

7、到相應(yīng)的累計(jì)重量和累計(jì)灰分量，計(jì)算數(shù)據(jù)見表2表2改進(jìn)的M曲線上的節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)序號(hào)i0123456累計(jì)重量xi0.0015.1543.3155.7162.1969.77100.00累計(jì)灰分量yi0.0075.30378.58610.83789.941089.953318.21對(duì)表2所示的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行樣條插值，在Excel工作表中將各變量分別輸入在不同列中，按照?qǐng)D1所示的變量布置方式，各變量公式的輸入過程非常簡(jiǎn)單。圖1Excel工作表中的變量設(shè)置（1）變量公式的輸入①變量、、與按照上述相應(yīng)公式輸入，在公式輸入過程中僅需輸入節(jié)點(diǎn)1對(duì)

8、應(yīng)的變量公式，其它節(jié)點(diǎn)通過公式拷貝的方法即可完成全部節(jié)點(diǎn)的公式輸入。例如對(duì)于變量的輸入，在單元格D4中輸入公式=B4-B3，將鼠標(biāo)移至D4單元格的右下方，這時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)小十字╋標(biāo)記，按下鼠標(biāo)左鍵向下選取單元格D4:D9，松開左鍵，公式自動(dòng)拷貝至D5:D9單元格中，完成所有節(jié)點(diǎn)的公式輸入。其它公式的輸入方