專題：不等式恒成立、能成立、恰成立問題

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1、專題：不等式恒成立、能成立、恰成立問題分析及應(yīng)用恒成立,也就是一個(gè)代數(shù)式在某一個(gè)給定的范圍內(nèi)總是成立的,例如：x230,在實(shí)數(shù)范圍既XWR內(nèi)恒成立能成立，也就是一個(gè)代數(shù)式在某一個(gè)給定的范圍內(nèi)存在值使這個(gè)代數(shù)式成立，使代數(shù)式成立的值有可能是一個(gè)，兩個(gè)或是無窮多個(gè)，即個(gè)數(shù)是不定的，而在這個(gè)給定的范圍內(nèi)可以存在使這個(gè)代數(shù)式不成立的值，也可以不存在這樣的值，例如：x+l〉0在x>-2上能成立.恰成立，也就是一個(gè)代數(shù)式在某一個(gè)給定的范圍內(nèi)恰好是成立的,或是說這個(gè)代數(shù)式只有在這個(gè)范圍內(nèi)成立，在這個(gè)范圍外的值都不能使這個(gè)代數(shù)式成立，而這個(gè)代數(shù)式里面的值均能使這個(gè)代數(shù)式成立.例如：（x-l）2二0,在x二1時(shí)

2、恰成立.可以說恰成立時(shí)恒成立的一種特例，在給定的范圍內(nèi)恰成立肯定是恒成立的，但是恒成立的條件屮還有可能符合代數(shù)式的在給定的范圍之外，即恒成立不一定包含了滿足這個(gè)代數(shù)式的所有的值，但是恰成立包含了滿足這個(gè)代數(shù)的值，并且給定的范圍也全都滿足這個(gè)代數(shù)式.例如:x+l>0在x>-5上是能成立的，在x>-l上是恰成立也是恒成立的.而在-l

3、等式/（兀）>人在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上/（小品>人，o的下界大于A⑵若不等式/（兀）<$在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D±f（X）nux0/(?)>o丿（X）<0恒成立/(n)<0類型二：二次函數(shù)類型一用二次函數(shù)的圖像設(shè)/(兀)=處2+加+c(aH0),(1)f(x)>0&cgR上恒成立oa>0且AvO；(2)/(兀)<0在xwZ?上恒成立00<0且4<0。類型三：二次函數(shù)在閉區(qū)間上恒成立的問題：設(shè)f(x)=ax1-^bx-hc(a^O)(1)當(dāng)d>0時(shí)，/

4、(兀)>0在xw[a,0]上恒成立/(%)<0在rg［q,0］上恒成立of(a)<0/(0)<0(2)當(dāng)g<0時(shí),/(%)>0在兀g{a,f3上恒成立og>0/(/?)>0bhbnO<2a或］a<-2a<0或>02a，〔/@)>0A<0■〔/(0)>o/(x)<0在rg［q,0］上恒成立o?b0/(a)>0A<0■〔/(〃)Q對(duì)一切XG/恒成立o/(x)inin>a/(兀)<4對(duì)一切Xe/恒成立<=>/(x)inaxg(x)o函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方;2)/(x)<

5、g(兀)o函數(shù)/(兀)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下上方。恒成立問題解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法(分離常數(shù)法)、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。例題：例1、(1)對(duì)任意￡zg[-1,1J,不等式兀？+(a_4)x+4—2a>0恒成立，求x的取值范圍。解：分析：題小的不等式是關(guān)于X的一元二次不等式，但若把Q看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式(x—2)q+??_4兀+4>0在1,1]上恒成立的問題。令/(g)=(x_2)q+jc2_4x+4,則原問題轉(zhuǎn)化為/(。)>0恒成立(aw[-l,l])。當(dāng)x=2吋，可得f(a)=0,不合題意。當(dāng)兀工2時(shí)，應(yīng)有卩⑴>

6、°解Z得兀vl或￥>3。1/(-1)>0故X的取值范圍為(-00,1)U(3,4-oo)o例1、已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)??,求實(shí)參數(shù)R的取值范圍：(1)y=lg[F+伙一1)兀+上2](2)/(x)=logw(2x2-4A^4-l-Z:)；(3)/(x)={2x2-4kx+l-k；(4)f^x)=]oga^kx2-4fcc+l-Zr)；解：(1)由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式F+伙_1)兀+￡2>o對(duì)xer恒成立，即有A=伙—1)2-4k2<0解得￡<—1或R>-o所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-°0,一1)U(￡,七°)°(2)/(兀)的定義域?yàn)??O關(guān)于X的不等式2/—4尬+1—￡>0的解集為

7、1(1AR016^—8(1—k)<0o(k+l)(2￡—l)vOo—l<￡<—,???ke-1,-。2I2丿(3)/(兀)的定義域?yàn)??O關(guān)于X的不等式2^—4尬+1—￡