中南大學(xué)研究生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)課件

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1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念與抽樣分布§1.1引言什么是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)？它的研究內(nèi)容有哪些？這是每位初學(xué)者所關(guān)心的問題。我們先看一個(gè)這樣的例子：某鋼筋廠每天可以生產(chǎn)某型號鋼筋10000根，鋼筋廠每天需要對生產(chǎn)過程進(jìn)行控制，對產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。如果把鋼筋的強(qiáng)度作為鋼筋質(zhì)量的重有指標(biāo)，于是質(zhì)量管理人員需要做如下方面的工作第一，對生產(chǎn)出來的鋼筋的強(qiáng)度進(jìn)行檢測，獲得必要的數(shù)據(jù)。這里有兩種獲得數(shù)據(jù)的方法，⑴對10000根鋼筋的強(qiáng)度均進(jìn)行檢測，可得到10000個(gè)強(qiáng)度數(shù)據(jù)，這種檢測方式稱為全面試驗(yàn)，全面地進(jìn)行試驗(yàn)一般是不可取的，它費(fèi)時(shí)、費(fèi)力、甚至于不可能。⑵從10000根鋼筋中抽取一部分鋼筋進(jìn)行檢測，得到部分

2、強(qiáng)度數(shù)據(jù)。這里抽取部分鋼筋進(jìn)行檢測的方式稱為抽樣。抽取的方式也有很多種方法，它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要內(nèi)容，形成了試驗(yàn)設(shè)計(jì)與抽樣理論。第二，對通過抽樣獲取的部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析并推斷出這10000根鋼筋的質(zhì)量是否合乎要求。由于抽取的數(shù)據(jù)不全面,并且檢測過程中每個(gè)數(shù)據(jù)還有測量誤差(我們稱為隨機(jī)誤差)。含有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)會給我們帶來一定影響,并且難以獲得準(zhǔn)確的結(jié)論。概率論就是解決這些問題主要數(shù)學(xué)工具。為解決這些問題所發(fā)展起來的理論和方法就構(gòu)成了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容。一般說來，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論為主要的數(shù)學(xué)工具，研究如何有效地收集、整理和分析受隨機(jī)影響的數(shù)據(jù)，并對所考慮的問題作出推斷和預(yù)測，為決策

3、和行動提供依據(jù)和建議的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用十分廣泛，幾乎在人類活動的一切領(lǐng)域都能不同程度地找到它的應(yīng)用。英國著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇（Ｒ.A.Fisher）和皮爾遜(K.Pearson)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的奠基人,在20世紀(jì)初從事大量的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的研究,就是出于在生物學(xué)、數(shù)量遺傳學(xué)、優(yōu)生學(xué)和農(nóng)業(yè)科學(xué)的需要。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容十分豐富，一般可分為兩大類：一類是抽樣理論與試驗(yàn)設(shè)計(jì)；另一類是統(tǒng)計(jì)推斷，其中包括估計(jì)理與假設(shè)檢驗(yàn)等?；貧w分析、方差分析、Bayes分析，聚類分析，主成分分析等是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用分支?！?.2總體、個(gè)體、樣本1.21總體與個(gè)體我們把所研究對象的全體稱為總體或母體。組成總體

4、的每個(gè)單元稱為個(gè)體。例如：在研究某批燈泡的質(zhì)量時(shí)，該批燈泡的全體就是問題的總體，而其中每個(gè)燈泡就是個(gè)體。又如：在研究某校男大學(xué)生的身高與體重的分布時(shí)，該校的每個(gè)男大學(xué)生就是一個(gè)個(gè)體，所有這些個(gè)體就構(gòu)成了問題的總體。在實(shí)際問題中，我們關(guān)心的常常是總體的某項(xiàng)或幾項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)X（可以是向量）。例如，在研究燈泡的質(zhì)量時(shí)，我們關(guān)心的是燈泡的使用壽命X，而不是它的外觀。在研究某校男大學(xué)生的身高與體重時(shí)，我們關(guān)心的是它們的身高和體重，而不是其它特征。而數(shù)量指標(biāo)X對不同的個(gè)體，其指標(biāo)值是不同的，因而X可看作一個(gè)隨機(jī)變量。（或隨機(jī)向量），X的概率分布就完全描述了總體中指標(biāo)X的取值情況。稱X的概率分布為總

5、體分布，稱X的數(shù)字特征稱為總體的數(shù)字特征。當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)稱總體為離散總體；當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，稱總體為連續(xù)總體。當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時(shí)，稱總體為正態(tài)總體，當(dāng)總體分布為指數(shù)分布時(shí)，稱總體為指數(shù)分布總體等。對總體進(jìn)行研究就是對總體的分布或?qū)傮w的數(shù)字特征進(jìn)行研究。1.2.2樣本從總體中抽取的一部分個(gè)體稱為樣本或者子樣，其中所含個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量。從總體中抽取樣本的過程稱為抽樣。樣本和總體一樣也是考慮其數(shù)量指標(biāo)，如果記為樣本中第個(gè)個(gè)體的數(shù)量指標(biāo)，則表示樣本容量為n的樣本，它可以看作是對總體X作n次觀測的結(jié)果，它的值隨著從總體中抽取的對象的不同而不同。因此，它是隨機(jī)變量，然而

6、，一旦確定抽取對象后，我們就得到一組具體的數(shù)值，它可以看作是隨機(jī)變量的一組觀測值，有時(shí)也稱為樣本。因此，從某種意義上來說，樣本具有二重性：隨機(jī)性和確定性。注意樣本的這種二重性非常重要。對理論工作者而言，他更多注意的是它的隨機(jī)性，他所得到的統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)有一定的普遍性，不單純針對某些具體樣本觀測值。而對應(yīng)用工作者而言，他們雖然習(xí)慣把樣本看成具體數(shù)字，但仍不能忘記樣本的隨機(jī)性，要不然對那些雜亂無章的數(shù)據(jù)無法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的實(shí)質(zhì)就是利用樣本的信息去研究總體，去研究總體的某種性能。樣本的“好”與“不好”對推斷總體影響很大。怎樣才是“好”的樣本？定義1.1設(shè)總體X的樣本滿足⑴獨(dú)立性：每次觀

7、測結(jié)果既不影響其它結(jié)果，也不受其它結(jié)果的影響；即相互獨(dú)立；⑵代表性：中每一個(gè)個(gè)體都與總體X有相同分布。則稱此樣本為簡單隨機(jī)樣本。例如，在N根鋼筋中抽取n根鋼筋進(jìn)行檢測，如果進(jìn)行有放回抽樣即每次隨機(jī)地從N根鋼筋中抽取一根鋼筋，檢測后放回并混勻，然后再從中抽取。這樣得到的樣本就是簡單隨機(jī)樣本。如果采取無放回抽樣即每次抽取一根鋼筋，檢測后不放回，然后再從剩余中抽取一根或者隨機(jī)地從N根鋼筋中一次性抽取n根鋼筋，得到的樣本就不是簡單隨機(jī)樣本。但N很大，n相對較小時(shí)無