周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)

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1、§8-5傅里葉級數(shù)展開研究周期（函數(shù)）現(xiàn)象產(chǎn)生；三角函數(shù)是最簡單的周期函數(shù)；任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)表示；傅里葉(Fourier)，也譯作傅立葉，法國數(shù)學家、物理學家。1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡，被當?shù)亟烫檬震B(yǎng)。12歲由一主教送入地方軍事學校讀書。17歲（1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學。1794到巴黎，成為高等師范學校的首批學員，次年到巴黎綜合工科學校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。1817年當

2、選為科學院院士，1822年任該院終身秘書。數(shù)學方面主要貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。1807年向巴黎科學院呈交《熱的傳播》論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。物理方面他是傅立葉定律的創(chuàng)始人，1822年在代表作《熱的分析理論》中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題，成為分析學在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對19世紀的理論物理學的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。本節(jié)內(nèi)容一、

3、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性二、周期函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)四、一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)五、任意區(qū)間上非周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)[P316，自學]三角函數(shù)公式：函數(shù)角Asincostgctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°

4、-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα誘導(dǎo)公式：一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運動:(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運動:令得函數(shù)項級數(shù)?為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).2、三角函數(shù)系的正交性基；單位正交；4、函數(shù)的周期性延拓（P312）正弦級數(shù)為：…………練習將函數(shù)級數(shù).則解:將f(x)延拓成以展成傅里葉2?為周期的函數(shù)F(x),利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.當x=0時,f(0)=0,得說明:設(shè)已知又作業(yè)：P317，習題8-5，

5、1(1)，3。小結(jié)：1.周期為2?的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理其中注意:若為間斷點,則級數(shù)收斂于2.周期為2?的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)奇函數(shù)正弦級數(shù)偶函數(shù)余弦級數(shù)3.在[0,?]上函數(shù)的傅里葉展開法作奇周期延拓,展開為正弦級數(shù)作偶周期延拓,展開為余弦級數(shù)1.在[0,?]上的函數(shù)的傅里葉展開唯一嗎?答:不唯一,延拓方式不同級數(shù)就不同.思考：處收斂于2.則它的傅里葉級數(shù)在在處收斂于.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為,3.設(shè)又設(shè)求當?shù)谋磉_式.解:由題設(shè)可知應(yīng)對作奇延拓:由周期性:為周期的正弦級數(shù)展開式的和函數(shù),定義域4.

6、寫出函數(shù)傅氏級數(shù)的和函數(shù).答案:備用題1.葉級數(shù)展式為則其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里2.設(shè)是以2?為周期的函數(shù),其傅氏系數(shù)為則的傅氏系數(shù)提示:令狄利克雷(1805–1859)德國數(shù)學家.對數(shù)論,數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出的貢獻,是解析數(shù)論他是最早提倡嚴格化方法的數(shù)學家.函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)收斂的第一個充分條件;了改變絕對收斂級數(shù)中項的順序不影響級數(shù)的和,舉例說明條件收斂級數(shù)不具有這樣的性質(zhì).他的主要的創(chuàng)始人之一,并論文都收在《狄利克雷論文集(1889一1897)中.1829年他得到了給定證明