等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式(2)

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1、等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式2等差數(shù)列定義：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：復(fù)習(xí)回顧：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)變式梯子的最高一級(jí)寬33cm,最低一級(jí)寬110cm，中間還有10級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級(jí)的寬度。解：用{an}表示梯子自上而下各級(jí)寬度成的等差數(shù)列，a1=33，a12=110，n=12.由已知條件有由通項(xiàng)公式，得a12=a1+(12-1)d即110=33+11d,解得d=7.因此,a2=33+7a3=40+7a4=54a5=61a6=68a7=75a8=82a9=89a10=96a11=103.答:梯子中間各級(jí)的寬度從上到下依次

2、是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.例1：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=pn+q，其中p,q是常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列嗎？如果是，其首項(xiàng)與公差是什么？分析：由等差數(shù)列的定義，要判定是不是等差數(shù)列，只要看an－an-1(n≥2)是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)就行了解：取數(shù)列中的任意相鄰兩項(xiàng)an-1與an(n≥2)an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p它是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，所以是等差數(shù)列，且公差是p在通項(xiàng)公式中令

3、n=1，得a1=p+q,所以這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是p+q，公差是p,例2：首項(xiàng)是1，公差是2的無窮等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n-1相應(yīng)的圖象是直線y=2x-1上均勻排開的無窮多個(gè)孤立的點(diǎn)，如右圖例如：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,那么A應(yīng)滿足什么條件?由等差數(shù)列定義及a,A,b成等差數(shù)列,可得:A-a=b-A,即反之,若則2A=a+b,A-a=b-A,即a,A,b成等差數(shù)列.總之:成等差數(shù)列.也就是說:是a,A,b成等差數(shù)列的充要條件.思考：在一個(gè)數(shù)列中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它前一項(xiàng)與

4、后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫a與b的等差中項(xiàng).如:數(shù)列:1,3,5,7,9,11,13,…中,等差數(shù)列的性質(zhì)1：即：求下列各題中兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)。（1）、100與180（2）、－2與6練習(xí)：解:（1）100與180的等差中項(xiàng)是140（2）-2與6的等差中項(xiàng)為2在等差數(shù)列中，為公差，若且求證：證明：設(shè)首項(xiàng)為，則∵∴例3：在等差數(shù)列中，若則等差數(shù)列性質(zhì)2：例4：（1）已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a15=30,求a9，a7＋a11解：（1）∵a9是a3和a15的等差中項(xiàng)∴（2）已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋

5、a5＋a6＋a7=150，求a2＋a8的值∵7+11=3+15（2）∵3+7=4+6=5+5∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7=5a5=150即a5=30故a2＋a8=2a5=60∴a7＋a11=a3＋a15=30∴a3＋a7=a4＋a6=2a5練習(xí)：（1）在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＋a15＋a21=8，求a12=（2）已知等差數(shù)列{an}中，a3和a15是方程x2－6x－1=0的兩個(gè)根，則a7＋a8＋a9＋a10＋a11=2已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a5=－14,2a2＋a6=－15，求a8例5：解：∵3+5=2+6，則2a

6、2＋a6=a2＋a3＋a5=a2－14=－15故a2=－15+14=－1∴a6=－15－2a2=－15－2×（－1）=-13故a8=2a6－a4=2×（-13）－（-7）=-19∴a3＋a5=a2＋a6例6已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和是12，積是48，求這三個(gè)數(shù).小結(jié)：（1）由通項(xiàng)公式如何判定它是等差數(shù)列。（2）等差數(shù)列性質(zhì)1（3）等差數(shù)列性質(zhì)2作業(yè)：課本：P.39:6,8,9,10,11.＜＜課課練＞＞P.25---P.26.